3.3《导数在研究函数中的应用》习题

学而思网校导数在研究函数中的应用单元测试一、选择题1．下列函数在()，∞∞内为单调函数的是（）Ａ．2yxxＢ．yxＣ．xyeＤ．sinyx答案：Ｃ2．函数lnyxx在区间(01)，上是（）Ａ．单调增函数Ｂ．单调减函数Ｃ．在10e，上是单调减函数，在11e，上是单调增函数Ｄ．在10e，上是单调增函数，在11e，上是单调减函数答案：Ｃ3．函数23()(2)(1)fxxx的极大值点是（）Ａ．45xＢ．1xＣ．1xＤ．2x答案：Ｄ4．已知函数32()fxxpxqx的图象与x轴相切于(10)，极大值为427，极小值为（）Ａ．极大值为427，极小值为0Ｂ．极大值为0，极小值为427Ｃ．极大值为0，极小值为527Ｄ．极大值为527，极小值为0答案：Ａ5．函数2cosyxx在π02，上取最大值时，x的值为（）学而思网校Ａ．0Ｂ．π6Ｃ．π3Ｄ．π2答案：Ｂ6．设函数()fx在定义域内可导，()yfx的图象如图1所示，则导函数()yfx的图象可能为（）答案：Ｂ二、填空题7．函数22ln(0)yxxx的单调增区间为．答案：12，∞8．函数2()ln3fxaxbxx的极值点为11x，22x，则a，b．答案：122，9．函数42()25fxxx在[22]，上单调递增，则实数a的取值范围是．答案：410．函数32()5fxaxxx在()，∞∞上单调递增，则实数a的取值范围是．答案：13，∞学而思网校．函数543()551fxxxx在[12]，上的值域为．答案：[102]，12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x为时，正三棱柱的体积最大，最大值是．答案：3654aa，三、解答题13．已知0x，证明不等式ln(1)xx．证明：原不等式等价于证明ln(1)0xx．设()ln(1)fxxx，则1()111xfxxx．学而思网校∵，()0fx∴．()fx∴在(0)x，∞上是单调增函数．又(0)0ln10f，()(0)0fxf∴即ln(1)0xx，亦即ln(1)xx．14．已知函数32()32fxxaxbx在1x处有极小值1，试求ab，的值，并求出()fx的单调区间．解：由已知，可得(1)1321fab，又2()362fxxaxb，①(1)3620fab∴，②由①，②，解得1132ab，．故函数的解析式为32()fxxxx．由此得2()321fxxx，根据二次函数的性质，当13x或1x时，()0fx；当113x，()0fx．因此函数的单调增区间为13，∞和(1)，∞，函数的单调减区间为113，．15．已知某工厂生产x件产品的成本为212500020040Cxx（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y元，则2125000200250004020040xxxyxx，225000140yx，令0y得1000x．当在1000x附近左侧时0y；在1000x附近右侧时0y，故当1000x时，y取极小值，而函数只有一个点使0y，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．（2）利润函数为2250025000200300250004040xxSxxx，30020xS，令0S，得6000x，当在6000x附近左侧时0S；在6000x附近右侧时0S，故当6000x时，S取极大值，而函数只有一个点使0S，故函数在该点处取得最大值，因学而思网校此，要使利润最大，应生产6000件产品．