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限时作业16导数在函数最值及生活实际中的应用一、选择题1.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是().A.-37B.-29C.-5D.以上都不对2.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是().3.(2011四川成都外国语学校月考,9)已知函数f(x)=x3+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为4,则函数g(x)=sin2x+bcos2x的最大值是().A.1B.2C.D.4.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定().A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数5.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是().A.-13B.-15C.10D.156.在上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=+在同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在上的最大值是().A.B.4C.8D.二、填空题7.函数y=x3+3x2-24x+12的极小值是.8.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=.9.设函数y=f(x)在(a,b)上的导数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.若函数f(x)=x4-mx3-x2为区间(-1,3)上的“凸函数”,则m=.三、解答题10.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为:y=x3-x+8(0x≤120).已知甲,乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少?最少为多少升?11.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当a=1时,求函数f(x)在[-3,0]上的最大值和最小值.(参考数据:e≈2.71828,e2≈7.38905)12.甲方是一农场,乙方是一工厂,乙方生产需占用甲方的资源,甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.乙方在赔付甲方前,年纯收入P(元)与年产量t(吨)满足函数关系P=2000;若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S(元)(以下称S为赔付价格),则其年利润为Q(元).(1)求乙方的年利润Q(元)关于年产量t(吨)的函数表达式,并求出当年利润Q(元)最大时的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?(净收入=获赔金额-经济损失)##参考答案一、选择题1.A2.C3.B4.D5.A6.B解析:因为g(x)=+,且x∈,则g(x)≥3,当且仅当x=1时,g(x)min=3.又f'(x)=2x+p,∴f'(1)=0,即2+p=0,得p=-2,∴f(x)=x2-2x+q.又f(x)min=f(1)=3,∴1-2+q=3,∴q=4.∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,x∈.∴f(x)max=f(2)=4.二、填空题7.-168.329.2解析:由函数f(x)=x4-mx3-x2,得f'(x)=x3-mx2-3x,f″(x)=x2-mx-3.若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,则有f″(x)=x2-mx-30在区间(-1,3)上恒成立,由二次函数的图象知,即得m=2.三、解答题10.解:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),要耗油×2.5=17.5(升).(2)当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=·=x2+-(0x≤120),h'(x)=-=(0x≤120).令h'(x)=0得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.答:当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少为11.25升.11.解:(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f'(x)=(x2+2x)ex,故f'(1)=3e,切点坐标为(1,e),故切线方程为y-e=3e(x-1),即y=3ex-2e.(2)f'(x)=[(x2+ax-2a2+3a)ex]'=ex(x2+ax-2a2+3a)+(2x+a)ex=ex[x2+(a+2)x-2a2+4a],令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.以下分三种情况讨论:①当a,则-2aa-2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上单调递增,在(-2a,a-2)上单调递减;②若a=,则f'(x)=ex≥0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;③若a,则-2aa-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上单调递增,在(a-2,-2a)上单调递减.(3)根据(2),当a=1时,函数f(x)=(x2+x+1)ex在(-∞,-2),(-1,+∞)上单调递增,在(-2,-1)上单调递减,故f(x)在[-3,0]上的极大值是f(-2)=3e-2,极小值是f(-1)=e-1,函数f(x)在[-3,0]上的端点值是f(0)=1,f(-3)=7e-3,f(-2)=1=f(0),故函数f(x)在[-3,0]上的最大值为f(0)=1,由于f(-3)-f(-1)=-=0,故函数f(x)在[-3,0]上的最小值为f(-3)=7e-3.12.解:(1)乙方的年利润为Q=2000-St(t≥0).∴Q=-St+2000=-S+.当=,即t=时,Q取得最大值.(2)设甲方净收入为R元,则R=St-0.002t2.将t=代入上式,得R=S·-0.002·=-.R'=-+=.令R'=0,得S=20.当S20时,R'0;当S20时,R'0,∴S=20时,R取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格S=20(元/吨)时获最大净收入.