第二章 数控加工中的数学应用

第二章数控加工中的数学基础——杨玲109020002目录•2.1圆弧样条2.1.1圆弧样条的构造方法2.1.2圆弧样条的光顺处理•2.2局部坐标下的分段三次样条•2.3B样条简介2.3.1B样条的定义2.3.2B样条的几个重要性质2.3.3B样条曲线类型的划分•2.4有理B样条曲线、曲面2.4.1NURBS曲线与曲面2.4.2NURBS曲线的定义2.4.3权因子的几何意义2.4.4非均匀有理B样条（NURBS）曲面•2.5抛物线拟合•2.6曲线的2次逼近2.1圆弧样条•圆弧样条就是用圆弧这一最简单的二次多项式模拟样条，分段组成一阶导数连续函数。圆弧样条是我国在1977年创造的一种拟合方法，在具有圆弧插补功能的数控系统中，采用圆弧样条可以直接输出圆弧信息，避免了用其他拟合方法还需进行二次逼近处理的过程，减少了误差环节。2.1.1圆弧样条的构造方法•圆弧样条是已知型值点Pi（xi,yi）(i=1,2,...,n),过每一个Pi点作一段圆弧，且使相邻圆弧在相邻节点（如Pi和Pi+1）的弦平分线上相交并相切，则使整条曲线在各连接点处达到位置和切线的连续。如图2-1所示，圆弧段分别过点P1,P2,...,Pn-1,Pn，过点P1及P2的两段圆弧在P1P2弦平分线上相交并相切。这就是圆弧样条的构造方法。2.1.2圆弧样条的光顺处理•圆弧样条拟合时，规定过每一型值点Pi（i=0,1,...,n）作一段圆弧。当曲线转折较大时，如果型值点给得较稀，可能出现型值点处曲率变号情况，这时拟合出的曲线可能出现拐点。为了防止这一现象，通常限制和的比值•若超出此范围，则可在Pi和Pi+1点之间加密一个点。补加点可取在Pi、Pi+1处弦切角和组成的三角形内心上，也可取在PiPi+1的中垂线上。插入补加点后，要重排点的次序，重新进行计算。下面是补加点在中垂线上时的计算过程。1i3311ii1iii•如图所示，在局部坐标系中，补加点的坐标为设PiPi+1与参考坐标系中x轴的夹角为时，有'iP2)4tan(1'1''iiiiiiluuv•在参考坐标系中，补加点的坐标为'iP2.2局部坐标下的分段三次样条•这一拟合方法是在给定的每两相邻值点间建立局部坐标系内的三次曲线方程，通过迭代使每两个中间型值点左右两端曲线达位置及切线连续，且点点通过型值点。这样求出来的曲线连续且与实际要求的曲线误差较小。2.3B样条简介•Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：–Bezier曲线或曲面不能作局部修改；–Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂•1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了1946年Schoenberg提出的样条方法,提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。2.3.1B样条的定义•如何理解B-样条？–样条插值，三对角方程(函数、参数)–给定分划，所有的B样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是B样条基函数–由B样条基函数代替Bezier曲线中的Bernstein基函数，即B样条曲线。•B样条曲线的方程定义为：是控制多边形的顶点(i=0,1,..,n)称为k阶（k-1次)B样条基函数B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。nikiitNPtP0,)()(),,1,0(niPi)(,tNki•德布尔和考克斯（deBoor&Cox）递推定义并约定OtherwisetxttNiii01)(11,)()()(1,111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiikiknknnnkktttttttt,,,,,,,,,,111100002.3.2B样条的几个重要性质–局部性。k阶B样条曲线上参数为的一点至多与k个控制顶点有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。局部支承性],[1iittt),,1(ikijPj),(kiittotherwisettttNkiiki0],[0)(,–连续性P(t)在r重节点处的连续阶不低于k-1-r。–凸包性P(t)在区间上的部分位于k个点的凸包内，整条曲线则位于各凸包的并集之内。权性nikttii1),,(1ikiPP,,1iCiCninkkittttN011,],[1)(–分段参数多项式P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式–导数公式],[)()1()()()(111,1110,0,'nkkiniikiiinikiinikiittttNttPPktNPtNPtP微分公式)(1)(1)(1,111,1,tNttktNttktNkiikikiikiki2.3.3B样条曲线类型的划分•B样条曲线类型的划分–曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。–B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。•均匀B样条曲线节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。图3.1.23三次均匀的B样条曲线•准均匀B样条与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题图3.1.24准均匀三次B样条曲线•分段Bezier曲线节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。图3.1.25三次分段Bezier曲线•B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezier曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。•非均匀B样条曲线任意分布的节点矢量，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基。],,,[21kntttTiP1iP2iP3iP)(tP(a)四顶点共线iP1iP2iP3iP4iP三重顶点二重顶点(b)二重顶点和三重顶点iP1iP2iP1iPiP1iP2iP3iP(c)二重节点和三重节点(d)三顶点共线图.1.26三次B样条曲线的一些特例2.4有理B样条曲线、曲面•给定参数轴u和v的节点矢量p×q阶B样条曲面定义如下],,,[10pmuuuU],,,[10qnvvvVminjqjpiijvNuNPvuP00,,)()(),(•构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。和是B样条基，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。)(,uNpi)(,vNqjijP00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P图3.1.33双三次B样条曲面片2.4.1NURBS曲线与曲面•B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。•提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。•NURBS方法的主要优点–既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式–修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。–具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术–对几何变换和投影变换具有不变性。–非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。•应用NURBS中还有一些难以解决的问题：–比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间–权因子选择不当会引起畸变–对搭接、重叠形状的处理很麻烦。–反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题(MAF方法)2.4.2NURBS曲线的定义•NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的nikiinikiinikiiitRPtNtNPtP0,0,0,)()()()(njkjjkiikitNtNtR0,,,)()()(•Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：–局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti,ti+k]–权性：–可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在节点处(k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度。–若i=0，则Ri,k(t)=0；–若i=+，则Ri,k(t)=1；•NURBS曲线与B样条曲线具有类似的几何性质：–局部性质。–变差减小性质。–凸包性。–在仿射与透射变换下的不变性。–在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。–如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。–若，则当时，–非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况i],[kiitttiPtP)(2.4.3权因子的几何意义–如果固定曲线的参数t，而使变化，则NURBS曲线方程变成以为参数的直线方程，即NURBS曲线上t值相同的点都位于同一直线上。分别是对应曲线上的点，即N，Bi可表示为：(Pi，Bi，N，B)四点的交比iiiBNB,,1,0,1,0iii)0;(itPB)1,0;(),;(1iiitPBtPN);(iitPPiiiPBBPBN)1()1(iiiiiBBBPBNNP:1:1（1）若i增大或减小，则也增大或减小，所以曲线被拉向或推离开Pi点；（2）若j增大或减小，曲线被推离或拉向Pj（ji）。B0P1P2P3P4P5PiBN图3.1.35NURBS曲线中的权因子的作用2.4.4非均匀有理B样条（NURBS）曲面•NURBS曲面的定义]1,0[,),()()()()(),(00,;,,00,,00,vuvuRPvNuNvNuNPvuPminjqjpiijqjminjpiijqjminjpiijijmrnsqsprrsqjpiijqjpivNuNvNuNvuR00,,,,,;,)()()()(),(•规定四角点处用正权因子，即，其余。•NURBS曲面的性质与非有理B样条基函数相类似的性质：–局部支承性质–权性0,,,0000mnnm0ij),(,;,vuRqjpi–可微性.在重复度为r的u节点处沿u向是p-r-1次连续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可微–极值.若p，q1，恒有一个极大值存在–是双变量B样条基函数的推广2.5抛物线拟合•抛物线拟合是美国福特汽车公司奥维豪瑟在1986年发表的一种方法，用于配有一般2次曲线插补装置的数控设备。对于给定的型值点和端点条件，一般样条采用整体拟合法，建立方程组，然后解出各节点的连续条件，得出整条曲线的分段函数。抛物线拟合法是一种局部方法，被拟合曲线可以逐段延伸，不断给出数据，便于修改和进行计算机交互图形设计。2.6曲线的2次逼近•采用以上方法拟合曲线，可以称之为一次拟合，而数控机床及绘图机上，一般具有直线插补或圆弧插补功能；加工时输出结果是以直线或圆弧形式给出的，因此需进行曲线的2次逼近。•直线逼近用直线去逼近曲线，其逼近误差直接影响加工精度，必须根据工程上的需要，将误差控制在允许的范围内。•双圆弧逼近在数控加