3.4定积分与微积分基本定理练习题

§3.4定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫3π01－cosxdx相等的是()．A.2∫3π0sinx2dxB.2∫3π0sinx2dxC.2∫3π0sinx2dxD．以上结论都不对解析∵1－cosx＝2sin2x2，∴∫3π01－cosxdx＝∫3π02|sinx2|dx＝2∫3π0|sinx2|dx.答案B2.已知f(x)为偶函数，且06f(x)dx＝8，则6－6f(x)dx＝()A．0B．4C．8D．16解析6－6f(x)dx＝206f(x)dx＝2×8＝16.答案D3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()．A.1603mB.803mC.403mD.203m解析v＝40－10t2＝0，t＝2，02(40－10t2)dt＝40t－103t320＝40×2－103×8＝1603(m)．答案A4．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4s内经过的路程是()A．260mB．258mC．259mD．261.2m解析48(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.答案D5．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()．A.103B．4C.163D．6解析由y＝x及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝x及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为04(x－x＋2)dx＝23x32－12x2＋2x|40＝163.答案C6．已知a＝i＝1n1nin2，n∈N*，b＝01x2dx，则a，b的大小关系是()．A．abB．a＝bC．abD．不确定答案A7．下列积分中①1e1xdx；②2－2xdx；③024－x2πdx；④∫π20cos2xx－sinxdx，积分值等于1的个数是()．A．1B．2C．3D．4解析①1e1xdx＝lnxe1＝1，②2－2xdx＝12x22－2＝0，③024－x2πdx＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos2x2cosx－sinxdx＝12∫π20(cosx＋sinx)dx＝12(sinx－cos)|π20＝1.答案C二、填空题8．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为______．解析由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，W＝∫0.060100xdx＝0.18(J)．答案0.18J9．曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．答案32－ln210．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k等于_________．解析0k(2x－3x2)dx＝0k2xdx－0k3x2dx＝x2k0－x3k0＝k2－k3＝0，∴k＝0或k＝1.答案0或111．12|3－2x|dx＝________.解析∵|3－2x|＝－2x＋3，x≤32，2x－3，x＞32，∴12|3－2x|dx＝∫321(3－2x)dx＋232(2x－3)dx＝|x－x2321＋(x2－3x)|232＝12.答案1212．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析如图所示，因为y′＝－2x＋4，y′|x＝1＝2，y′|x＝3＝－2，两切线方程为y＝2(x－1)和y＝－2(x－3)．由y＝x－，y＝－x－得x＝2.所以S＝12[2(x－1)－(－x2＋4x－3)]dx＋23[－2(x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＝12(x2－2x＋1)dx＋23(x2－6x＋9)dx＝13x3－x2＋x21＋13x3－3x2＋9x32＝23.答案23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析区域Ω的面积为S1＝16.图中阴影部分的面积S2＝S1－2－2x2dx＝16－13x32－2＝323.设落在阴影部分的豆子数为m，由已知条件m900＝S2S1，即m＝900S2S1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．解析抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝01(x－x2)dx＝x22－13x310＝16.又y＝x－x2，y＝kx，由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，S2＝∫1－k0(x－x2－kx)dx＝1－k2x2－13x31－k0＝16(1－k)3.又知S＝16，所以(1－k)3＝12，于是k＝1－312＝1－342.15．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P12，0，求过P的切线l与C围成的图形的面积．解析设切点坐标为(x0，y0)y′＝6x2－6x－2，则y′|x＝x0＝6x20－6x0－2，切线方程为y＝(6x20－6x0－2)x－12，则y0＝(6x20－6x0－2)x0－12，即2x30－3x20－2x0＋1＝(6x20－6x0－2)x0－12.整理得x0(4x20－6x0＋3)＝0，解得x0＝0，则切线方程为y＝－2x＋1.解方程组y＝－2x＋1，y＝2x3－3x2－2x＋1，得x＝0，y＝1或x＝32，y＝－2.由y＝2x3－3x2－2x＋1与y＝－2x＋1的图象可知S＝∫320[(－2x＋1)－(2x3－3x2－2x＋1)]dx＝∫320(－2x3＋3x2)dx＝2732.16.已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0t1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．(1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．解析(1)由y＝3x2－3x，y＝3tx得x2－(t＋1)x＝0，所以x1＝0，x2＝t＋1.所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.因为0t1，所以1t＋12.所以S(t)＝∫t＋10[3tx－(3x2－3x)]dx＋2t＋1[(3x2－3x)－3tx]dx＝＋2x2－x3t＋10＋x3－3＋2x22t＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则h′(x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，则3(x0＋1)2－6＝x0＋3－6x0＋2－mx0－1，化简整理得2x30－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．设g(x0)＝2x30－6x0＋m，则g′(x0)＝6x20－6.由g′(x0)0，得x01或x0－1；由g′(x0)0，得－1x01，所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．因此，关于x0的方程2x30－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是g－，g，即m＋40，m－40，即－4m4.故实数m的取值范围是(－4,4)．