31定积分的应用(几何)

1§3.1.定积分的应用（几何）※学习目标1．理解定积分的概念，并能根据定积分的意义进行概括提取，使几何意义转化为求解定积分问题；2．通过求定积分，力争能说出定积分的几何意义．※学习过程一、课前准备复习1：积分的概念，解决记分问题的基本方法、步骤复习2：微积分基本定理：二、研读课本课本例一求如图所示阴影部分的面积．新知总结这里注意：我们要算我们生活中的积分时，一定要和数学中的积分面积区分开来．因为我们数学中的积分面积并非完全意义上的面积------x轴上的面积为正，x轴下的面积为负，当机械地认为所求面积S=xdxsin时你会发现，它的数值为“0”．所以我们求生活中实际意义的面积时，是x轴上方的数学积分面积（正值）减去x轴下方的数学积分面积（负值），即面积Ｓ＝－0sinxdx＋0sinxdx．课本例二求抛物线y=x2与直线y=2x所围成平面图形的面积.例3．求如图所示阴影部分的面积．小结：这里主要还是基本的几何思想———分拆与整合．面积的求解用到了一个整体有时需要将原面积进行分解，将一个分解成为若干个易求的小面积（积分的基本思想）；逆向思维，有些时候反而将这个面积补成较大的易求的整体来求.一般的，设曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，x=b所围成的平面图形的面积S，我们知道几分钟的面积根据在ｘ轴的上方还是下方是有正负的，所以利用积分计算面积时首先要画出图形，然后进行讨论求解．如图，课本中给出的结论Ｓ＝badxxf)(－badxxg)(不但适合于两条曲线都在ｘ轴上方的．同样这两条曲线一条y=f(x)在ｘ轴上方，另一条y=g(x)在ｘ轴下方；也适合两条曲线都在下方的情况．例4．给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求它的体积．2例5．一个半径为1的球可以看成是曲线y=21x与x轴所围成的区域（半圆）绕x轴旋转一周得到的，如图所示，求球的体积．小结：立体几何中间，我们学过祖堩原理，几何体积就是将面积累进行累积得到的结果，虽然我们看到的是一个平面直角坐标系，其实它是一个三维空间直角坐标系.三典型例题例1．求椭圆22ax+22by=1（ab0）在第一象限内与两坐标轴围的面积．解：22ax+22by=1第一象限内的曲线方程为y=ab22xa，椭圆22ax+22by=1与x轴非负方向的交点坐标为（a，0）由图可知所求曲边形的面积S=adxxaab022=abadxxa022而由积分的定义我们知道adxxa022就是以原点为圆心，半径为a的圆在在第一象限内的面积，故adxxa022=41a2，所以所求曲边形的面积S==abadxxa022=ab·（41a2）=41ab总结：本题为较为简单的积分问题，画出椭圆的草图，这里需要求出被积函数的解析式以及积分的上下限，再利用圆的积分结论便可得到结果。根据结果我们便得到了椭圆的面积为S=ab。例2、如图抛物线y=x3（0≤x≤1cm）旋转一周而得到的几何体的体积。解：画出所求几何体的草图y=x2x=3y（0≤y≤1）由积分定义知，几何体的体积就是把此几何体用垂直于y轴的等距的n+1个平面把它截成n个薄片，而每个薄片都可以近似看作是一个以上底（或下底）的薄柱体，从而可知几何体的体积就是将截面面积积分后的结果。设抛物线的截面的高度，即抛物线的横坐标为y0（0≤y0≤1），则截面圆的半径r=x0=30y，截面圆的面积为S=320y体积V=dxy10320=53y35010=53四动手试试3练1．求曲线y=x1，直线x=1，x=2以及x轴围成的平面图形的面积．练2．将直线y=x，x=1，x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到一个圆台，利用定积分求该圆台的体积．※总结提升学习小结1．数学中的积分面积并非完全意义上的面积------x轴上的面积为正，x轴下的面积为负．面积的求解经常用到分拆与整合思想方法．2．几何体积就是将面积累进行累积得到的结果，虽然我们看到的是一个平面直角坐标系，其实它是一个三维空间直角坐标系．※课后练习：1.曲线y=sinx（0≤x≤2）与轴围成的图形的面积为A.1B.2C.0D.－22.抛物线y=x2与y=2－x2所围图形的面积是A.2B.49C.38D.33.抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分，这两部分面积之比为A.923B.2923C.2923D.29234.曲线y=ex2与x、y轴，直线x=4所围成的图形的面积是____________.5.曲线y=cosx+1（－≤x≤）与x轴围成的面积是__________________.6.如图求曲线y=sinx，y=cosx在4≤x≤45之间围成的图形的面积7.曲线y=x2与y=2x在第一象限所围图形的面积8.求曲线y=x1，y=1，x=2以及两坐标轴所围成的图形的面积9.仿照例5利用积分求椭圆22ay+22bx=1（ab0）绕长轴旋转一周得到的椭圆球的体积。