52矩阵的相似对角化.

5.1特征值与特征向量5.2矩阵的相似对角化5.3实对称矩阵的对角化5.4Jordan标准形第5章矩阵的相似化简5.2矩阵的相似对角化5.2.1相似对角化的条件和方法5.2.2可对角化矩阵的多项式内容小结矩阵的相似对角化3/285.1.1相似对角化的条件和方法设它们所对应的特征值为1,2,,n,(1,2,,)iiiinApp.如果矩阵A相似于对角矩阵,则称A可对角化.将矩阵A化为与对角矩阵相似的过程称为相似对角化.若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量p1,p2,,pn,则由前知,若n阶矩阵A可对角化,则A有n个线性无关的特征向量(即相似变换矩阵的n个列向量).矩阵的相似对角化4/2812,nAPP因此A可对角化.112diag(,,,),nPAP亦即而可逆,12[]nPppp于是将上述n个式子写成121122[][],nnnApApApppp即矩阵的相似对角化5/28定理5.7n阶矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量(相似变换矩阵的n个列向量就是特征向量,对角矩阵的主对角元就是特征值).推论5.8若n阶矩阵A有n个相异特征值,则A可对角化.注1.相似变换矩阵是不唯一的.2.可对角化的n阶矩阵不一定有n个相异的特征值.例如例5.2中,三阶矩阵A只有两个不同的特征值,但有三个线性无关的特征向量,故A可对角化.矩阵的相似对角化6/28例5.6已知2001222,311xyAB试确定x,y,并求相似变换矩阵.解A与B相似,则||||,EAEB2(2)[(1)(2)](1)(2)(),xxy在上式中令0,得yx2;令2,得y2,从而x0.因此A的特征值为1,2,2.即矩阵的相似对角化7/28当1时,100212312EA故得(EA)x0的基础解系102,1p它就是1对应的特征向量.100012,000矩阵的相似对角化8/28当2时,4002222311EA得(2EA)x0的基础解系201,1p它就是2对应的特征向量.100011,000矩阵的相似对角化9/28当2时,0002222313EA得(2EA)x0的基础解系310,1p它就是2对应的特征向量.111020,000矩阵的相似对角化10/28所以相似变换矩阵123001[]210111Pppp.矩阵的相似对角化11/28虽然有相同特征值的两个n阶矩阵不一定相似,但是有推论5.9若两个n阶矩阵A与B有相同的特征值1,2,,n,且1,2,,n互异,则AB.矩阵的相似对角化15/28定理5.10n阶矩阵A的任一特征值的几何重数不大于代数重数.推论5.11n阶矩阵A可对角化当且仅当A的全部相异特征值的几何重数之和等于n,这等价于A的每个相异特征值的几何重数等于代数重数.矩阵的相似对角化16/28例5.7设n阶矩阵A满足A2A2E,证明A可对角化.证设为A的任一特征值,解得11,或22.下面分三种情况讨论.则由A2A2E0知220,(1)1是A的特征值,2不是A的特征值.此时2EA0,故2EA可逆.由A2A2E有(EA)(2EA)0,因此EA0,即AE,故A可对角化.矩阵的相似对角化17/28(2)2是A的特征值,1不是A的特征值.因此同理可证A2E,即A可对角化.(3)1和2都是A的特征值.由于(EA)(2EA)0,rank()rank(2)nEAEA.而rank()rank(2)rank(2)EAEAEAEArank(3),nE矩阵的相似对角化18/28于是rank()rank(2)nEAEA.因为1和2的几何重数分别为rank(),rank(2),nnEAEA且由前知故A可对角化.所以A有n个线性无关的特征向量,rank()rank(2),nnnEAEA矩阵的相似对角化19/285.2.2可对角化矩阵的多项式当n阶矩阵A可对角化时,存在可逆矩阵P,使得112diag(,,,),nAPP从而A的幂121kknAPP112;kkknPP矩阵的相似对角化20/28特别地,对于A的特征多项式(),有进一步,对于任何多项式f(x),有121()()();()nffffAPP矩阵的相似对角化21/28121()()(())nPAP这表明,相似对角化能够简化矩阵多项式的计算.上述结论可以推广为(见第5.4节):任何一个方阵A的特征多项式()都使得(A)0.这就是著名的Cayley-Hamilton定理.0.矩阵的相似对角化22/28例5.8某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将六分之一熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有五分之二成为熟练工,设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn.设,求111/21/2xy11nnxy.矩阵的相似对角化23/28解由已知条件得化简得11521,65631,56nnnnnnnxxxyyxy1192,10513.105nnnnnnxxyyxy矩阵的相似对角化24/28则92105,13105A记11,nnnnxxyyA从而1111nnnxxyyA.矩阵的相似对角化25/28容易求得A的特征值为1211,,2它们对应的特征向量为1241,11pp.令P[p1p2],则1111145P.矩阵的相似对角化26/28因此1444122,1451122nnnn11200nnnAPP于是11381231022nnnnxy.矩阵的相似对角化27/28当时,n4/51/5nnxy.这是一种稳定的极限状态.矩阵的相似对角化28/281.n阶矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量.2.若n阶矩阵A有n个相异特征值,则A可对角化.3.矩阵A的任一特征值的几何重数不大于代数重数.4.矩阵A可对角化当且仅当A的每个特征值的代数重数与几何重数相等.内容小结