55二重积分的概念与性质

5.5二重积分的概念与性质1/24复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？baxxfd定积分答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,取近似,求和,取极限”kknkdbaxfxxf10limd（3）如何计算定积分？柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.),(yxfzD1．曲顶柱体的体积一、问题的提出——引例D类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”D解法步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfzi),(ii①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV得曲顶柱体的体积④取极限：),(iifi),(ii设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？2．求平面薄片的质量i),(ii⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiMxyo分析=常数时，质量=·，其中为面积.⑷取极限：得薄片总质量若为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”niiiifV10),(limniiiiM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性1.定义),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分区域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,.),(的从而二重积分都是存在上连续在所论有界闭域以后总假定Dyxf(2)存在条件（充分条件）当),(yxf在有界闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.2.【对二重积分定义的说明】(1)积分存在时，其值与区域的分法和点的取法无关，只与被积函数和积分区域有关.3.【二重积分的几何意义】表曲顶柱体的体积.1)若),(yxf,0表曲顶柱体体积的负值.2)若),(yxf,04)若,1),(yxfDyxfd),(Dyxfd),(Dd1表区域D的面积.3)若),(yxf在积分区域的部分区域上为正，而在其它区域上为负，则表示这些部分区域上的曲Dyxfd),(顶柱体体积的代数和.性质1.d),(d),(DDyxfkyxkf性质2Dyxgyxfd)],(),([.d),(d),(DDyxgyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分性质3对区域具有可加性.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf性质4若为D的面积，.dd1DD性质5若在D上),,(),(yxgyxf.d),(d),(DDyxgyxf特殊地.d),(d),(DDyxfyxf则有比较性质设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质6设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质7二重积分中值定理DMyxfmd),(),(d),(fyxfD二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义证明以下仅证性质7（中值定理）),(上的连续函数是有界闭域DyxfmM、必有最大、最小值由估值性质得DMyxfmd),(0由于DMyxfmd),(1据有界闭域上的连续函数的介值定理使得上至少存在一点在),,(D),(d),(1fyxfD变形后【得证】比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而区域D位,1yx从而DDyxyxd)(d)(32于直线的上方,故在D上1y2xo1D例1解比较积分Dyxd)ln(与Dyxd)][ln(2的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解在D内有e21yx,故1)ln(0yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Dyxd)ln(Dyxd)][ln(2.oxy121D2yx1yx例2一利用直角坐标计算二重积分二小结思考题§10.2二重积分的计算法（一）复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素xxAVd)(d体积为baxxAVd)(在点x处的平行截面的面积为:)(xA(1)二重积分),(limd),(10niiiiDfyxfxoabxdxx)(xA18/24,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy[X—型区域的特点]穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.[预备知识]19/24,dyc).()(21yxy(2)［Y－型域］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.20/24(3)[既非X－型域也非Y－型域]3D2D1D在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)则必须分割..321DDDD由二重积分积分区域的可加性得21/24(1)若积分区域为X－型域：,bxa).()(21xyx0),(yxf且设积．为曲顶的曲顶柱体的体为底，以曲面的值等于以则),(d),(yxfzDyxfD2.【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.],[0bax0xx作平面方法22/24)(01x)(02x)()(000201d),()(xxyyxfxAbaxxAVd)(即得公式1的二次积分后对上式称为先对xyyxzab0xo)(1xy)(02x)(01x)(2xy)(0xAd),()()()(21xxyyxfxA),(yxfzoyxz)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xyab0x],[0bax0xx作平面baxxDxyyxfyxfd]d),([d),()()(21.d),(dd),()()(21Dbaxxyyxfxyxf23/24几点小结计算方法实现了二重积分的一种通过体积作为过渡,①.)(来求解单积分通过计算两次定积分②定限：二重积分的计算关键是).()(,:21xyxbxaDXbaxxDxyyxfyxyxfd]d),([dd),()()(21定限口诀后积先定限(投影)限内划条线(穿线)先交下限写后交上限见aboxyDx)(1xy)(2xyabxd)(1x)(2xydDyxfd),(),(yxf(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向投影穿线法24/24,dycxyoDyx1yx2cd:Y)2(型域若积分域为yDyxyxfdd),(.的二次积分后对即化二重积分为先对yx3.【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。)()(21d),(yyxyxfdcyd公式2).()(21yxy25/24(1)使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域.(2)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.(见后续补充例题)(3)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域（或Y-型域）321DDDDoxy1D2D3D[说明]26/244.【例题部分】例1.2,1,d所围闭区域及：由其中计算xyxyDxyD解Ⅰ看作X－型域xyxDX121:2112121d]2[dddxyxyxyxxyxxD811d)22(213xxx12oxyy=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域221:xyyDY2122221d]2[dddyxyxxyyxyyyD811d)22(213yyy27/24例2.1,1,:,d122所围闭区域和由计算yxxyDyxyD解D既是X—型域又是—Y型域111:yxxDX法1122111xyyxyxdd上式－111xoy=xDxy12122111dxyxx)()1(22yxd212128/24法2yxyDY111:yxyxyy12211d1d原式注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！yxyxyy12211d1d29/24例3.2,d2所围闭区域及：由其中计算xyxyDxyD解D既是X—型域又是Y—型域先求交点(4,2)1)(1,22或由xyxy30/24法1221:2yxyyDY法22212yyDxxyyxyddd855视为X—型域xyxxD10:1xyxxD241:221DDD则必须分割21dDDDxyxxxxyxyxyxyx24110dddd计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！2212yyxxyydd31/24小结以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)32/245.【简单应用】例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解xyzRRo设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz2200:),(xRyRxDyxXxxRRd802233/24例52,2的面积所围区域应用二重积分求由曲线Dxyxy解据二重积分的性质4（几何意义）Dyxdd交点22xyxy)4,2()1,1(，221:2xyxxDX212221d)2(dd2xxxyxxx29与定积分元素法相同34/246.【补充】改变二次积分的积分次序例题补例1计算二次积分1102ded2xyyxx。yyde2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序（改变积分次序）110:yxxDXyxyDY010:yyxxy0210ded2yyyd3e1032