5函数的定义域和值域答案

函数定义映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:fAB”函数的概念1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数，记作)(xfy，Ax。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(叫做函数的值域。函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例函数y＝xx23与y＝3x是不是同一个函数？为什么？练习判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？①f(x)=(x－1)0；g(x)=1②f(x)=x；g(x)=2x③f(x)=x2；f(x)=(x+1)2④f(x)=|x|；g(x)=2x重点一：函数的定义域各种类型例题分析例当a取何实数时，函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?分析：可转化为：确定a值，使关于x的不等式-x2+ax+20的解集为(-1，2).解：-x2+ax+20x2-ax-20，故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)212()||4xxfxx（2）11232yxxx⑶4)3lg(2xxxy⑷1||142xxy⑸)1(log31xy⑹235684xxxy抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(…)”型例：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。【类型二】“已知f(…)，求f(x)”型例：已知f(x+1)的定义域是[0，5]，求f(x)的定义域。【类型三】“已知f(…)，求f(…)”型例：已知f(x+2)的定义域为[-2，3），求f(4x-3)的定义域。【思路】f(…)f(x)f(…)例.函数yfx()的定义域为(]，1，则函数yfx[log()]222的定义域是___。分析：因为log()22x相当于fx()中的x，所以log()2221x，解得22x或22x。例已知函数f(2x)的定义域是［-1，2］，求f(log2x)的定义域.分析：在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.解:∵-1≤x≤2，∴21≤2x≤4故21≤log2x≤4即log22≤log2x≤log2162≤x≤16.总结：已知F(g(x))的定义域为A，求F(h(x))的定义域，关键是求出既满足g(x)∈B，又满足h(x)∈B的x取值集合，在此例中，A=［-1，2］，B=［21，4］.例．已知函数fx定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1)2()23fx；(2)212()1log(2)fxyx。解：（1）由0＜x2＜2，得练习1、函数()fx的定义域是[0，2]，则函数(2)fx的定义域是___________.2、已知函数()fx的定义域是[-1，1]，则(2)(1)fxfx的定义域为___________.3、已知2()fx的定义域为[1,1]，则(2)xf的定义域为___________．重点二：求函数解析式的几种常用方法1.换元法：例已知f(x+1)=2x+2x-3,求f(x)解:令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得:f(t)=21t+2(t-1)-3=2t-4∴f(x)=2x-4说明:f(x),f(t)都是同一个对应法则,只是自变量的表示不同,从函数来看没有区别.练习、1若f(x)=2x2-1，求f(x-1)2已知函数f(2x+1)=3x+2，求f(x).2.配凑法：上例中,把已知的f(x+1)中的x+1看成是一个整体变量进行处理.∵f(x+1)=2x+2x+1-4=21x-4用x代替x+1,得:f(x)=2x-4例已知f(x+1x)=221xx,求f(x).分析：将221xx用x+1x表示出来，但要注意定义域。解：f(x+1x)=221xx=212xx变式、1已知x≠0，函数f(x)满足f(xx1)=221xx，求f(x).2已知(1)2fxxx，求()fx3、待定系数法：例.一次函数f(x)满足f[f(x)]=9x+8,求f(x).解：设此一次函数解析式为f(x)=kx+b,则有：f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=2kkbb由已知得：2kkbb=9x+8.即298kkbb解得32kb或34kb所求一次函数解析式为：f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4.例已知()fx是二次函数，若(0)0,(1)()1ffxfxx，求()fx.4.解方程组法：例设f(x)满足f(x)+2f(1x)=x(x≠0),求f(x).分析：要求f(x)需要消去f(1x),根据条件再找一个关于f(x)与f(1x)的等式通过解方程组达到目的。解：将f(x)+2f(1x)=x中的x用1x代替得f(1x)+2f(x)=1x.消去f(1x)得:2()33xfxx例若3f(x)+f(-x)=22x–x,求f(x).解：用-x替换式中x得:3f(-x)+f(x)=22x+x.消去f(-x)得：f(x)=22x-2x练习、1若2()()1fxfxx，求()fx．2若()fx满足1()2(),fxfaxx求()fx重点三函数的值域㈠、观察法：例、求下列函数的值域（1）y=3x+2(-1x1)（2）xxf42)(㈡、配方法：例、已知函数142xxy，分别求它在下列区间上的值域。（1）x∈R；（2）[3，4]（3）[0，1]（4）[0，5]练习：1.已知函数223yxx，分别求它在下列区间上的值域。（1）xR；（2）[0,)x；（3）[2,2]x；（4）[1,2]x2.求函数2234xxy的值域说明：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给x的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域.例．若实数x、y满足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：∵4y2=4x-x2≥0∴x2-4x≤0，即0≤x≤431)32(434344222222xxxxxxyxS∴当x=4时，Smax=16当x=0时，Smin=0∴值域0≤S≤16例．已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a的值．分析：2)(axxfy称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a，而函数的自变量x限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．解：43)2()(22aaxxfy734)1(212)1(minaafyaa时，，即当)(62343)2(22121)2(2min舍得，时，，即当aaafyaa734)1(212)3(minaafyaa时，即，当综合（1）（2）（3）可得：a=±7㈢、换元法例、求函数xxxf41332)(的值域。解：令0413tx，则13-4x=t24132tx∴4)1(21321322ttty该二次函数的对称轴为t=1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，∴原函数的值域为（-∞，4]。例．求函数12yxx的值域。解析：方法1、可用换元法解答方法2、根据函数的单调性来做例求函数y=2x+2-3×4x(-1≤x≤0)的值域解y=2x+2-3·4x=4·2x-3·22x令2x=t12101tx3411,3434)32(3]949434[343minmax222yyyttttty例的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(xfxfxgyxf练习、1.求函数xxy142的值域2.求函数xxy212的值域形如：dcxbaxy的函数可令)0(ttdcx，则cdtx2转化为关于t的二次函数求值。（四）、分离常数法例求函数541xyx的值域。练习、1.求523xyx的值域2.求521xxy值域例、求函数122xxxxy的值域。解析：因为43)21(111111111222222xxxxxxxxxxxy，而4343)21(2x，所以431102xx，则131y，故所求函数的值域为)131[，y。(此题也可用判别式法求解)对于形如)0()()0()(222222dafexdxcbxaxxfcadcxbaxxf或的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。（五）判别式法例的值域求函数322122xxxxy解由已知得(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0(*)210123(*)21012)1(yyy式：，代入，则若（2）若2y-1≠0，则∵x∈R∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0即(2y-1)(10y-3)≤02110321103yy值域练习1求函数2212xxxy的值域.2求函数y=2211xxx的值域。（六）利用函数的单调性例的值域求函数12xxy解：均在定义域内单调递增，1221xyxy1)1(111212minyxyxxxyxxy原函数值域时当的定义域是而调递增在公共定义域范围内单例的值域，求函数已知xxyx122]1,0[解：在定义域范围内单增，在定义域范围内单调递xyxy12221调递减212)1(202)0(12]1,0[122maxminyxyxyxxxy原函数值域时当时当内单调递增在例：若函数2143kxykxkx的定义域为R，求k的取值范围。【变】若函数2143kxykxkx的定义域为R，求k的取值范围。