3第三章多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、因为二元函数10),(yxF00yxyx不满足，所以),(yxF不是某一个二维随机变量的联合分布函数。2、设二维随机变量的联合分布律为XY123121/163/81/161/121/61/4则)2|1(XYP。3、设X和Y是独立的随机变量，其分布密度函数为01)(xfX其他10x，0)(yYeyf00yy则),(YX的联合分布密度函数为。4、设二维随机变量的联合分布律为X123121/61/91/181/3ab若X和Y独立，则a=,b=。5、设)1,2(~),3,0(~),2,1(~321NXNXNX，且三个随机变量相互独立，则)6320(321XXXP。6、若随机变量),4(~),,2(~pbYpbX，且95)1(XP，则)1(YP。7、设),(YX的联合密度函数为0),()(yxceyxf其他0,0yx则c。8、设),(YX区域D上服从均匀分布，其中D是由x轴，y轴及直线12xy所围成的区域，则)21,81(YXP。9、设X和Y是两个随机变量，且73)0,0(YXP，74)0()0(YPXP，则0),max(YXP。10、设相互独立的X和Y具有同一分布律，且21)1()0(XPXP，则随机变量YXZ,max的分布律为。11、设相互独立的X和Y具有同一分布律，且21)1()0(XPXP，则随机变量YXZ,min的分布律为。12、设平面区域D由曲线xy1及直线2,1,0exxy，),(YX区域D上服从均匀分布，则),(YX关于X的边缘密度在2x处的值为。13、设相互独立的X和Y具有同一分布，且)21,0(~NX，则~YXZ。二、选择题1、设随机变量YX,相互独立，分布函数为)(),(yFxFYX，则),max(YX的分布函数为()①)}(),(max{xFxFYX②)}(),(min{xFxFYX③)()(xFxFYX④)(1)(11xFxFYX2、设随机变量YX,相互独立，且)4,1(~),2,0(~NYNX，则下列各式成立的是()①21)0(YXP②21)0(YXP③21)1(YXP④21)1(YXP3、设随机变量X，Y相互独立，)1,0(~NX，)1,0(~NY，则YX的密度函数为（）①22221yxe②42221yxe③4221xe④4221xe4、设随机变量YX,相互独立且同分布，5.0)1()1(XPXP，则下列结论正确的是()①5.0)(YXP②1)(YXP③41)0(YXP④41)0(YXP5、设随机变量YX,相互独立，且),(~),,(~2221NYNX，则YX为()①),(222121N②),(222121N③),(222121N④),(222121N6、设),(YX的联合密度函数为01),(yxf其他122yx则X与Y为（）①独立同分布②独立不同分布③不独立同分布④不独立也不同分布7、设随机变量YX,相互独立，且均服从（0,1）均匀分布，则下列中服从均匀分布的是（）①),(YX②YX③2X④YX8、随机变量YX,相互独立同分布，则YX和YX（）①不独立②独立③不相关④相关9、设),(YX的联合分布律为YX01011/4ba1/4已知事件0X与事件1YX相互独立，则ba,值为（）①31,61ba②81,83ba③61,31ba④41,41ba三、计算题1、设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：(1)系数A；(2)P{(X，Y)∈D}，其中D为由直线y=x,x=1，及x轴围成的三角形区域。2、设随机变量X，Y相互独立，且X，Y的分布律如下表：X－3－2－1Y123P1/41/42/4P2/51/51/5求：(1)(X，Y)的联合分布律；(2)Z＝2X＋Y的分布律；(3)U＝X－Y的分布律。3、甲、乙两人约定晚上在某处见面，但没有说好具体时间，已知甲、乙到达该处的时间分别为随机变量X和Y，且甲到达的时间均匀分布在6时至8时之间；而乙到达的时间均匀分布在7时至10时之间。已知(X，Y)的联合概率密度为：其他0107,8661),(yxyxf求先到一人等候对方不超过10分钟的概率。4、设随机变量X和Y相互独立，且)3,1(~),2,1(~UYUX，求方程有两个不相等的实根的概率。方程：022YXtt5、一口袋中有4个球，标有1，2，3，4。从中任取1个，不放回，再从袋中任取1个球，以X和Y表示第一、二次取得的球的数字，求X、Y的联合分布。6、设随机变量X和Y相互独立，),(~2NX，),(~UY，求YX的分布。7、随机变量X和Y的联合分布函数为2arctan2arctan1),(2yxyxF求边缘分布函数和边缘密度函数。8、设二维随机变量X和Y的联合密度函数为03),(2xyxyxf其他10,10yx求（1）联合分布函数；),()1)(1(),(22yxyxAyxf（2）边缘密度函数；（3）)1(YXP9、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y表示甲和乙的命中次数，求X和Y的联合分布。10、已知随机变量X和Y的分布律为411210411~X211210~Y且1)0(XYP求（1）X和Y的联合分布；（2）X和Y是否独立。11、一电子仪器由两部件构成，以X和Y表示两部件的寿命，已知X和Y的联合分布函数为其他0,001),()(5.05.05.0yxeeeyxFyxxy（1）X和Y是否独立；（2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。12、设随机变量X和Y独立，其概率密度分别为000)(1001)(yyeyfxxfyYX，其他求YXZ2的分布密度。13、设随机变量X和Y独立联合密度为其他xyxxyxf0,1003),(求)41|81(XYP14、设X和Y独立联合密度为其他xyxxyyxf0,100)2(8.4),(求边缘密度。15、设X和Y独立联合密度为其他10),(22yxycxyxf求（1）c（2）边缘密度。（3）条件分布16、设X和Y独立，且服从).0(2N，求22YXZ的概率密度。17、设X和Y独立，其他00)(xexfxX其他00)(Yyeyfy求YXZ的概率密度18、设X和Y独立，其他00)(xexfxX其他00)(Yyeyfy求),max(YXZ的概率密度。19、设X和Y独立，其他00)(xexfxX其他00)(Yyeyfy求),min(YXZ的概率密度。20、设X和Y独立联合密度为其他10,1004),(yxxyyxf求联合分布函数。四、证明题1、证明：若)(~),(~21YX，且两随机变量独立，则)(~21YX2、证明：若)1,0(~),1,0(~NYNX，且两随机变量独立，则)2,0(~NYX3、证明：若随机变量X以概率1取常数c，则它与任何随机变量Y相互独立。第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、0)1,1()1,1()1,1()1,1(FFFF2、9/133、其他0,100),(yxeyxfy4、91,929131)91(,91)1,2(,3231baaYXPba＋5、3413.0)0()1(),6,0(~322321NXXX6、95)1(XP32951)0(12qqXP，)1(YP1－4q7、18、1/39、5/712、1/413、)1,0(N10、11二、选择题1、③2、③3、③4、①5、④6、③7、①8、③9、②三、计算题1、（1）21A(2)2、X，Y的联合分布率为XY123－30.10.050.1－20.10.050.1－10.20.10.2由(1)的结果，有：(X，Y)(-3,1)(-3,2)(-3，3)(-2,1)(-2,2)(－2,3)(-1,1)(-1,2)(-1,3)Z－5－4－3－3－2－1－101U－4－5－6－3－4－5－2－3－4P0.10.050.10.10.050.10.20.10.2于是，Z＝2X＋Y和U＝X－Y的分布律分别为：Z－5－4－3－2－101P0.10.050.20.050.30.10.2U－6－5－4－3－2P0.10.150.350.20.2YXZ,max011/43/4YXZ,min013/41/4321)1)(1(1),(}),{(022210DxdyyxdxdxdyyxfDYXP3、设等候对方的时间为随机变量Z(单位：小时)，则Z＝｜X－Y｜于是所求概率DdxdyyxfZP),(}6015{＝1/124、yxydxdydxdyyxfYXPYX23122221),()(,0445、jijijYiXP1210),(6、)()(21)(21)(zzdyyzfzfXZ7、xxdxxdFxfxyxFLimxFxxyx)1(1)()(,2arctan1),()(2同理可得Y的分布8、（1）),(yxF：当0x或0y为0当10,10yx为22312131yxyx当1,10yx为2312131xx当10,1yx为212131yy当1x，1y为0（2）)(xfX＝2312131xx当10x其他为0)(yfy212131yy当10y其他为0（3）)1(YXP＝1727),(yxdxdyyxf9、用独立性)()(),(jYPiXPjYiXP得YX012010.160.320.1620.080.160.080.010.020.0110、(1)由1)0(XYP有0)0(XYP再用边缘分布与联合分布的关系YX01－1011/4001/21/401/41/21/41/21/2(2)X和Y不独立。11、（1）先求边缘分布函数，得X和Y独立（2）求1.0)1.0,1.0(eYXP12、2200)1(21)1(210)(2zzzeeezfzzZ13、先求)41|(|yfXY，再求)41|81(XYP＝81|21)41|(dyyfXY14、其他100)2(4.2)(2xxxxfX其他100)43(4.2)(2Yyyyyyf15、（1）c＝21/4(2)其他110)1(821)(42xxxxfX其他10027)(25Yyyyf（3）其他yxyyxyxfYX023)|(232|其他1012)|(24X|Yyxxyxyf16、先求分布函数，后求密度函数0006)(222zzezzfzZ17、：000][)(zzeezfzzZ，：000)(2zzzezfzZ18、000)()()(zzeeezfzzzZ19、000)()