4-4系统性能的分析

第四节系统性能的分析第四章线性系统的根轨迹法项目内容教学目的掌握由根轨迹分析闭环系统三大性能的方法。教学重点由根轨迹分析系统的动态性能。教学难点由根轨迹分析系统的动态性能。讲授技巧及注意事项举例进行说明。4-4系统性能的分析根轨迹图的最大特点是参数的可视化。这正是时域法的不足。根轨迹与系统的稳定性•结构稳定系统：根轨迹全部位于虚轴的左边。对于结构不稳定系统，只能靠人为增加开环零、极点(改变系统结构)改变系统稳定性。•条件稳定系统：系统没有一支根轨迹全部位于右半平面。但是，至少有一支根轨迹穿越虚轴。•结构不稳定系统：至少有一支根轨迹全部位于s右半平面。一、系统稳定性分类由于根轨迹是由开环零极点决定的，因此在系统中增加或改变零极点在s平面的位置，可以改变根轨迹的形状，影响系统的性能。二、增加开环零极点对系统稳定性的影响1、增加开环零点对根轨迹的影响在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹向左半s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，减少渐近线的条数。*2()()(2)KGsHsss*2(3)()()(2)KsGsHsss*2(0.5)()()(2)KsGsHsss*2()()(2)KsGsHsss设原始开环传函增加零点z＝-3增加零点z＝-0.5增加零点z＝0*2()()(2)KGsHsss*2(0.5)()()(2)KsGsHsss*2(3)()()(2)KsGsHsss*2()()(2)KsGsHsss由以上对比可以看出，引入开环零点后可使根轨迹向左移动或弯曲，开环零点越接近原点，系统稳定性能变得越好。-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234RootLocusRealAxisImaginaryAxis2、增加开环极点对根轨迹的影响在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹向右半s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，增加渐近线的条数。*()()(2)KGsHsss*()()(2)(4)KGsHssss设原始开环传函增加极点p＝-4增加极点p＝-1增加极点p＝0*()()(2)(1)KGsHssss2*()()(2)KGsHsss*()()(2)KGsHsss*()()(2)(4)KGsHssss*()()(2)(1)KGsHssss2*()()(2)KGsHsss由以上对比可以看出，引入开环极点后可使根轨迹向右移动或弯曲，开环极点越接近原点，系统性能变得越差。如果引入一个0极点，系统将一直处于不稳定状态。-6-5-4-3-2-101234-8-6-4-202468RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-5-4-3-2-101234-8-6-4-202468RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-5-4-3-2-101234-8-6-4-202468RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-5-4-3-2-101234-4-3-2-101234RootLocusRealAxisImaginaryAxis注意•左侧负实轴上新增加的零点和极点，距原点近的影响较大。•不要企图增加位于右半平面的开环零点或极点，因为开环零点和极点是根轨迹的终点和起点，它们将根轨迹引向右半平面，使系统稳定性变差。**110011()()lim()()lim()()mmiiiinnssjjjjszzKsGsHsKKsppK在阶跃输入下定义：01lim()()1pssspKGsHseKK在速度输入下定义：K在加速度输入下定义：01lim()()vsssvKsGsHseK201lim()()asssaKsGsHseK根轨迹与系统的稳态性能注：把开环传函化为尾1形式也可以得到系统的开环增益K。根轨迹与系统动态特性的关系不大直观。根轨迹与系统的动态特性根轨迹的研究对象一般是高阶系统，高阶系统的动态特性本来就很复杂，只有当主导极点满足二阶近似条件时，才能进行二阶近似分析。由于系统的动态特性不仅与系统的闭环极点有关，还与系统的闭环零点有关，而根轨迹显现不出闭环零点。•根据开环增益或系统动态指标的要求，在根轨迹上确定闭环主导极点。通过根轨迹分析系统的动态性能，主要体现在：•在根轨迹上找到其它非主导极点，并考虑闭环零点，来判断主导极点是否满足二阶近似条件，并确定主导极点对应的典型二阶系统的动态性能指标。例1单位反馈系统的开环传递函数如下*(5)()(2)(6)KsGssss（1）K*取多大时，系统的阻尼比大于0.62？（2）选择ζ=0.62的一对共轭复数极点，它们对应的典型二阶系统的动态指标能否近似原系统的动态指标?-6-5-4-3-2-10-10-8-6-4-202468100.110.050.840.620.460.050.110.170.240.3440.460.340.240.17820.840.62810661024System:gGain:3.48Pole:-1.07+1.35iDamping:0.62Overshoot(%):8.37Frequency(rad/sec):1.72System:gGain:3.52Pole:-5.87Damping:1Overshoot(%):0Frequency(rad/sec):5.87RootLocusRealAxisImaginaryAxisζ=0.62时，K*=3.48。所以K*小于3.48时，系统的阻尼比大于0.62。K*=3.48时，对应的极点还有-5.87，满足系统二阶近似条件。零点不大满足近似条件，但和极点-5.87的位置较近，从偶极子效应来看，作用可以抵消。012345600.20.40.60.811.21.4System:g2Peakamplitude:1.08Overshoot(%):8.35Attime(sec):2.33System:untitled1Peakamplitude:1.08Overshoot(%):8.4Attime(sec):2.28System:untitled1SettlingTime(sec):3.46System:g2SettlingTime(sec):3.47StepResponseTime(sec)Amplitude原系统和近似后的二阶系统的阶跃响应的对比(blue为原系统)*()()(1)(4)20KsGsHssss例2单位反馈系统的开环传递函数为（1）确定参数K*，使主导极点对应的ζ=0.28。（2）改变K*的值，能否使ζ0.5？-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-15-10-50510150.190.1350.0950.060.030.030.060.0950.1350.190.280.40.712420.70.40.281210862141410468System:sysGain:67.8Pole:-2.35+8.06iDamping:0.28Overshoot(%):39.9Frequency(rad/sec):8.39System:sysGain:6.23Pole:-0.651-2.24iDamping:0.28Overshoot(%):40.1Frequency(rad/sec):2.33System:sysGain:6.24Pole:-3.69Damping:1Overshoot(%):0Frequency(rad/sec):3.69RootLocusRealAxisImaginaryAxisζ=0.28对应的极点有两种选择，K*=67.8时不符合主导极点的条件，K*=6.23时符合主导极点的条件。-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50-15-10-50510150.1350.0950.060.030.70.030.060.0950.1350.190.280.41020.70.40.280.1912864141412102468System:sysGain:13.4Pole:-1.65+3.01iDamping:0.481Overshoot(%):17.9Frequency(rad/sec):3.44System:sysGain:13.4Pole:-1.65-3.01iDamping:0.481Overshoot(%):17.9Frequency(rad/sec):3.44RootLocusRealAxisImaginaryAxisK*变化时，ζ的最大值是0.481，所以不能通过改变K*的值，使ζ0.5。根轨迹在系统动态分析和设计时的作用•由根轨迹可判断改变某系统参数能否得到满足要求的闭环主导极点以及参数变化时闭环主导极点的变化趋势。•由根轨迹与满足要求的等阻尼线的交点可确定系统的闭环主导极点。•MATLAB绘图给出了所选主导极点对应典型二阶系统的动态指标，如果其它闭环零极点满足二阶近似的条件。这些指标可用来近似估计高阶系统的指标。根轨迹在系统动态分析和设计时的作用•由MATLAB绘制的根轨迹图很容易得到非主导极点的位置．根据它们与主导极点的距离以及闭环零点与主导极点的距离来判断二阶近似指标的准确性。•如果改变系统参数不能得到希望的闭环极点，可给系统增加零、极点(改变系统的结构)，来改变根轨迹的走向，从而得到希望的闭环极点。由根轨迹分析系统的三大性能：*11()()miinjjzKKp小结•稳定性：由与K*相对应的闭环极点在复平面的分布情况确定，可以通过增加零极点改变系统的稳定性；•稳态性能：通过从根轨迹得到的系统型别ν、开环增益K(由K*、开环零极点确定)求系统的稳态误差ess。•动态性能：讨论高阶系统的二阶近似以及近似后系统的动态指标问题。作业(考点)：4-2