5欧几里德空间典型习题解析

5欧几里德空间解本章题时，请读者一定要对题干要求首先展开相应的空间想象或在草稿纸上构画出相应的直观图面来，这样一些抽象的东西就会变得简单了，而相应的准确率也就提高上来了。5.1向量1、设abc2（），则[abbc](c+a)=____.（+）(+)解：[abbc](c+a)=abbbacbc(c+a)（+）(+)（+++）=(abacbc)(c+a)=(ab)c(ac)c(bc)c++(ab)a(ac)a(bc)a(ab)c(bc)a(a,bc)(bc,a)2(a,bc)224.,,,（因为2abc(a,bc)(bc,a)(a,bc)=（）=,；,,）点评：熟练掌握关于向量内积、外积以及混合积的向量运算时解本节题目的关键。2、若向量a3b垂直于7a5b，并且向量a4b垂直于7a2b，试求向量a与b的夹角。解：由向量a3b垂直于7a5b22a3b7a5b07a15b16ab（）（）=由向量a4b垂直于7a2b22a4b7a2b07a8b30ab（）（）=联立*式与式22abb把式代入*式a=b又221bab12cosaba2abb（，）=与b的夹角11abcos.23，=点评：关于向量位置关系问题也是本节的一个重要考察知识点，其中关于向量间的位置关系我们有以下结论：设ax,y,z,bu,v,w01abab0xu+yv+zw=0；0xyz2abab0uvw；其中u,v,w若又一个为零，如v=0，应理解为y=0。03a与b共线不全为零的，使ab0；04a,bc,共面不全为零的，，使得abc0a,bc0（,）=。5.2直线、平面及曲线的投影方程关于本节，如何根据已知条件求直线方程，平面方程以及点、直线、平面之间的距离或相互之间的距离是本节的核心问题。1、求过点(-1,0,4)，平行于平面3x-4y+z=10，且与直线zx+1=y-3=2相交的直线方程。解：设所求直线方程为x1ltymtz4nt=-+==+，则直线的方向矢量为sl,m,n，平面的法矢量n3,4,1，由直线平行于该平面sn03l-4m+n=0由直线平行与直线zx+1=y-3=2相交-11lt3mt4m3n10l004nt=-+==+联立*式与式得419ln,mn728，不妨令n28，得l16,m19故所求直线方程为x116ty19tz428t=-+==+。点评：在求解相关问题时，倘若题设条件有一个已知点，则一般应首先考虑建立直线的参数方程；另外，在求两直线的交点，异面直线的距离等方面的问题时，通常也时借助于直线的参数方程。2、求过直线x1y2z2232-且垂直于平面3x2yz50的平面方程。解：由已知条件，知直线的方向矢量s2,3,2，平面的法矢量为n321,,-，若设所求平面的法矢量为n，有已知条件知ns且nn，故可令ijnsn232i8j13321kk于是所求平面方程为x18y213z20-（-）+(+)+（-）=，即x8y13z90--+=。点评：对于求平面方程，若所给条件中已知平面过某点，则一般用平面的点法式方程求解，此时求平面的法矢量就变为该问题的关键；另外，倘若题设条件中有两相交的平面，则一般用平面束方法处理比较方便（下题就是运用此方法来求解）3、求通过两平面12xyz20：+--=和23x2y2z10:--+=的交线，且与平面3:3x+2y+3z-6=0垂直的平面方程。解：设所求平面方程为2xyz23x2y2z10(+--)+(--+)=即23x2y2z20（+）+()+(-)+(-)=，因为该平面与平面3:3x+2y+3z-6=0垂直，所以两平面的法矢量垂直，即得3232232050（+）+()+(-)=，我们不妨取15，，代入*式，化简即得所求平面方程17x-9y11z+3=0-。4、判断直线1xy3zL:234和2x1y2z2L:112是否在同一平面上，若是，则求其交点；否则，求它们的距离。解：直线1L与2L的方向矢量分别是12s2,3,4,s1,1,2，并且它们分别过点P(0,3,0),Q(1,2,2)PQ1,1,2我们有：直线1L与2L共面12ssPQ，，共面12ssPQ混合积(，，)=0因为12ssPQ(，，)=2341120112所以直线1L与2L共面。下面求它们的交点，为此令xy3zt,234即x2t,y=-3+3t,z=4t=，代入2L中，得2t1-3+3t24t2t0112代回*式可得x0y3z0=,=-,=，即直线1L与2L的交点为030（，-，）。5、判断直线1x+1yz1M:112和2xy1z-2M:134是否在同一平面上，若在同一平面上求其交点；否则，求其距离。解:直线1M与2M的方向矢量分别为12s1,1,2,s1,3,4,两直线分别通过0000P(101),Q(01,2)PQ1,1,1，，，，1200112(s,s,PQ)13420111，直线1M与2M为异面直线；直线1M与2M的参数方程分别是1x1tMytz12t=-+：==+，2xsM:y13sz24s，设两直线间的距离为d，则222d=st1(13st)(14s2t)（-+），令222hst1(13st)(14s2t)=（-+），h52s24t407st,s1h324s12t40t由微积分知识，我们可知当7t,s13时两直线距离d最小且d=33.点评：上述两题都是关于两直线的位置关系的判断以及求两直线间的距离和交点问题，这也是本章的一个重点难点，解题关键是利用“混合积”方法首先正确判断直线间的关系。6、求直线x3tLy12tz58t：，在三个坐标平面以及平面xy3z80：-++=上的投影方程。解：i)我们已知直线L的参数方程，那么该直线在XY,YZ,ZX三平面上的投影分别是x3ty12tz0，x3ty0z58t，x0y12tz58t；ii)我们先求出通过直线L且垂直于平面的平面*的方程，然后联立方程便得所求投影方程直线L的方向矢量s1,2,8，平面的法矢量n1,1,3，该平面*的法矢量为n，则由投影柱面的意义得ijknsn12814111113===,,-，又平面*通过直线L，故直线L上的点315（，-，）在平面*上，于是，平面*的方程为14x311(y+1)-z50（-）+（-）=即14x11yz260+--=所以，L在平面xy3z80：-++=上的投影方程为14x11yz260xy3z80+--=-++=点评：一般投影问题的考察方式很固定，题目难度也不大，只要紧紧抓住投影方程的定义即可。5.3曲面方程本节内容繁多，但重点考察的无疑就是些常见的柱面方程及可化为标准二次方程的曲面方程。因此在牢固掌握（曲面方程及图形）好一些常见柱面方程（圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面），标准二次方程（椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆的抛物面，双曲抛物面，二次锥面）的同时，应深刻理解柱面以及一般二次曲面的定义；另外，旋转曲面方程及其求法也是本节的一个重要考察点。1、设准线方程为222222xyz12x2yz2母线的方向数为101，，求这个柱面。解：由柱面方程定义，我们任取该柱面得准线上的任意一点xyz（,,），那么，可设柱棉纺称为X-xYyZz-101，令X-xYyZztxXt,yY,zZt-101，将其代入已知得准线方程得：222222XtYZt12Xt2YZt2（）（）（）（），消去t便得柱面方程22XZY1.（）思路提示：解此类问题时，我们应首先判断该准线的类型，然后根据已知条件设处所求柱面方程（一般含有参数），最后我们想办法消去该参数即得所求柱面。2、求平面曲线22x4y1z0分别绕x轴，y轴旋转的旋转曲面方程。解：有旋转曲面方程定义，我们知当平面曲线绕某轴旋转时，则该坐标轴所对应的变量不变，可得：绕x轴旋转的旋转曲面方程为222x4(y+z)1；绕y轴旋转的旋转曲面方程为222(x+z)4y1。评析：关于平面曲线绕某坐标轴旋转的曲面方程的求法我们有一个固定的公式变换，这一般不会出错；但当所绕直线不是坐标轴而是某给定直线方程时，则需要我们紧紧抓住旋转曲面的定义和形成过程方可求解这时我们需要注意的地方。