4.7根轨迹法的应用

14.7根轨迹法在系统分析中的应用根轨迹分析法是根据系统的结构和参数绘制系统的根轨迹后，在根轨迹图上分析系统的稳定性、计算系统的动态性能和稳态性能。一、闭环零极点的分布对系统性能的影响利用根轨迹得到闭环零极点在s平面的分布情况，就可以写出系统的闭环传递函数，进行系统性能分析。下面以系统的单位响应为例，考查闭环零极点的分布对系统性能影响的一般规律。2niimjjnnnnmmmmpszsKasasasabsbsbsbsRsCs11*11101110)()()()()(在单位阶跃输入作用下系统输出的象函数为niiiniimjjssAsAspszsKsRssC1011*1)()()()()(单位阶跃响应nitsiieAAtc10)(其中，A0、Ai取决于系统闭环零极点的分布。设n阶系统的闭环传递函数为3闭环零极点的分布对系统性能的影响：(1)稳定性。系统稳定要求其闭环极点全部位于左半s平面。欲使系统稳定工作，其响应的根轨迹必须全部位于s平面的左半部。(2)运动形态。设系统不存在闭环偶极子，如果闭环极点全部为实数，即对应的根轨迹段全部位于实轴上，则系统的时间响应一定是单调的；如果系统存在闭环复数极点，则系统的时间响应一定是有振荡的。(3)平稳性。系统的平稳性由系统阶跃响应的超调量来度量。欲使系统响应平稳，系统的闭环复数极点的阻尼角应尽可能地小。兼顾系统响应的快速性，闭环主导极点的阻尼角一般取45o。4二、暂态响应性能分析闭环系统暂态响应的性能由闭环传递函数的零极点确定，而闭环系统的零极点可由根轨迹法确定。当系统存在一对主导极点时，可以用低阶系统来近似估算高阶系统的暂态性能。(4)快速性。欲使系统具有好的响应快速性，其响应的各暂态分量应具有较大的衰减因子，且各暂态分量的系数应尽可能小。即系统的闭环极点应远离虚轴，或用闭环零点与虚轴附近的闭环极点构成闭环偶极子。5ssKsKKfRJsRKKnKsssGfbaaafaeeo05.39.0)()()()(22例4-15已知某天线伺服系统结构图如图4-25所示，系统开环传递函数为试用根轨迹法分析系统的性能。θi(t)θo(t)-图4-25伺服系统方框图KeKfGm(s)n误差检测装置放大器伺服电机齿轮装置θe(t)6(1)由于根轨迹全部位于s平面，因而系统是稳定的。解作根轨迹图如图所示。-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β(2)系统的瞬态性能指标当Kf=80时，由根轨迹图可得系统闭环极点。s8.08.28.348.358.368.388.4K*66.369.671.972.072.272.672.9利用幅值条件，通过试探法求得闭环极点为s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35利用估算出性能指标为7-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22βs11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35利用表4-2估算出性能指标为stp38.035.81%9.55%100)38.053.1exp(%100)exp(%1pptstns63.253.1)35.8/53.135.8ln(4)/ln(422118-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β要求阻尼比ζ=0.32，试求放大器增益与性能指标。%6.34%100%21epstns6.24o13.71cosstnp69.012sradn/8.4cos/53.16.259.08.48.4fK9)22)(3()(22*ssssKsG例设单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹法，并分析K*=4时系统的性能。解(1)作根轨迹图如图所示。(2)根据幅值条件确定系统的零极点分布。10根据根轨迹的一些特殊点(如分离点、与虚轴交点)确定试探范围。0-3-2.3(K*=4.35)s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15当闭环极点在实轴上取不同值，对应的根轨迹增益如上表所示。当K*=4时，用试探法求得：s1=-2s2=-2.524685)(234sssssD特征多项式为当K*=4时，系统有两个闭环极点为负实数，而另两个则为共轭复数。114685)(234sssssD特征多项式为用长除法得79.048.0)52.2)(2(4685))(()(223421sssssssssssssD由s2+0.48s+0.79=0解得另两个闭环复数极点为：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系统性能暂态性能s1和s2的实部分别为复数极点实部的8.3倍和10.5倍，则系统可简化为由主导极点S3,4所决定的二阶系统。12)22)(3()(22*ssssKsG开环传递函数为闭环传递函数为*22*)22)(3()(KssssKs)79.048.0)(52.2)(2(42ssss)79.048.0(152.2242ss79.048.079.02ss(传递系数不变)1379.048.079.0)(2sss2222nnnss式中：ωn=0.89rad/s，ζ=0.27。系统的单位阶跃响应为：)03.7486.0sin(04.11]1)([)(24.01tessLtct超调量%4.41%100%21ep%)5(Δ6.145.3stnsstdnp65.312峰值时间调节时间14稳定性、稳态性能)22)(3()(22*ssssKsG开环传递函数为)121)(131(2ssssK系统为Ⅰ型：Kp=∞，Ka=0，Kv=K*/(3×2)=4/6=2/3。系统的临界开环根轨迹增益K*=8.16，相应的开环增益K=8.16/(3×2)=1.36系统稳定的开环增益取值范围为0K1.36下一张150-3-2.3(K*=4.35)j1.2(K*=8.16)上一张16三、增加开环零极点对根轨迹形状的影响在分析和设计系统时，开环零点和极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。这是因为系统的暂态特性取决于闭环零极点的分布，因而和根轨迹的形状紧密相关。而根轨迹的形状又取决于开环零极点的分布。那么开环零极点对根轨迹形状的影响如何，这是单变量系统根轨迹法的一个基本问题。171、增加开环极点通常，增加位于s左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能下降。对系统的动态性能不利。2、增加开环零点通常，增加位于s左半平面的开环零点，将使根轨迹向左半平面移动，系统的相对稳定性得到改善。有利于改善系统的动态性能。18增加开环极点图例19增加开环零点图例