5边际分析弹性分析

2.9边际分析一、求最值的步骤：课前复习3、比较上述三类点的函数值，其中最大的即为最大值，最小的即为最小值。2、求区间端点、驻点及不可导点的函数值；（求三类点的函数值）1、求导，找驻点和不可导的点；二、一般解决实际问题中最值问题的步骤（1）建立函数关系并写出定义域；（2）求导，找驻点（舍去不符合实际意义的驻点）；判断驻点处二阶导数的正负，求出极值，从而得到所求最值。求导驻点求二阶导极值点最值点（3）下结论作业解析：P786题所以比较各值可得，函数()fx在2x处取得最大值(2)ln5f，在0x处取得最小值(0)0f．解：（1）222(1)2()11xxfxxx，令()0fx，(1)ln2,f由于(0)0,f(2)ln5f得驻点0x，所以比较各值可得，函数()fx在0x和4x处取得最大值(0)(4)0ff，在1x处取得最小值(1)1f．令()0fx，(0)0,f由于(1)1,f(4)0f得驻点1x，（2）11()1xfxxx，另有不可导点0x，解：()20001000Cqq总成本函数qqpqqR)202010()(总收益函数(1)201020(/)pq由题意可知元百支)()()(qCqRqL所以总利润函数作业解析：P865题040)(qL又22010102000(0)qqq(2)()4010100Lqq令)(25.25百支得唯一驻点q所以，25.25q是)(qL在),0(内的唯一极值点，而且是极大值点，也就是最大值点．所以获得最大利润时的产量为2525支(3)20102025.251505(/)p此时的价格为元百支引例：如果大家在一辆从成都开往马尔康的长途客车上做售票员，单程所需的油费、过路费、汽车损耗、工作人员工资等固定成本为1000元，我们会给每位乘客食物和饮料，成本为每人10元，票价每人50元。现在车上有36位乘客。在即将发车之即，匆匆赶来一位乘客，他想以30元上车，作为售票员的你答应吗？增加一位乘客使我们的成本增加10元使我们的收益增加30元因为增加的收益增加的成本所以总利润是增加的，应该让他上车边际成本边际收益边际收益边际成本2.9边际分析2.9.1导数的具体意义设()yfx可导，()fx也称为()fx的边际函数，0()fx称为()fx在0x处的边际值。由于00()()yfxxfx上式中取1x，则0()yfx0d|xxy00()d()fxxfxx这说明0()fx的具体含义是：()fx在点0xx处，当自变量x产生一个单位的改变时，函数y近似改变0()fx个单位．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似”二字．例12(),(10)20fxxf，它表示当10x时，x改变一个单位，()fx（近似）改变20个单位。其经济意义是：当产量在0Q的基础上再增加一个单位时，总成本相应增加0()CQ个单位．若总成本函数()CQ可导，则边际成本函数为()CQ.当产量0QQ时，边际成本为0()CQ．2.9.2边际成本及其经济意义例2生产某品牌的洗衣粉Q袋时的总成本函数:2()8000.02CQQ(元)．求：生产100袋时的平均成本及边际成本，并说明经济意义．解：平均成本函数为()800()0.02CQCQQQQ，生产100袋时的平均成本为800(100)0.0210010100C（元），其经济意义是：当产量在100袋的基础上再增加1袋时，总成本相应增加4元．由于此时边际成本远远低于平均成本，所以应该大力提高产量．边际成本函数为()0.04CQQ，生产100袋时的边际成本为(100)4C（元）一般情况下，平均成本()()CQCQQ，若要使得平均成本最小，应有()0CQ，即2()()()()()0CQQCQCQCQQQ，所以有()()0QCQCQ()()()CQCQCQQ．使边际成本等于平均成本的产量0Q所对应的平均成本最低．总结：如例2中，当()()CQCQ，即8000.040.02QQQ时，解得200Q（袋），即为平均成本最低时的产量.其经济意义是：当销量在0Q的基础上再增加一个单位时，总收益相应增加0()RQ个单位．若总收益函数()RQ可导，边际收益函数为()RQ.当销量0QQ时，边际收益为0()RQ．2.9.3边际收益及其经济意义例3设某种家具的需求函数为Q=8002P，其中P(单位：元)为家具的销售价格，Q(单位：件)为需求量，求边际收益函数以及当销售量为Q=200和400件时的边际收益，并说明经济意义.解：由需求函数Q=8002P，得1(800)2PQ，总收益函数为211()(800)40022RQPQQQQQ故边际收益函数为()RQ21(400)4002QQQ，经济意义：当销量在200件的基础上再增加一件时，总收益相应增加200元；且(200)400200200R（元）(400)4004000R（元）当销量在400件的基础上再增加一件时，总收益将不会增加，说明总收益函数()RQ达到最大值．其经济意义是：当销量在0Q的基础上再增加一个单位时，总利润相应增加0()LQ个单位．若总利润函数()LQ可导，边际利润函数为()LQ．当销量0QQ时，边际利润为0()LQ．2.9.4边际利润及其经济意义由于总利润为总收入与总成本之差，即()()()LQRQCQ．上式两边求导，得()()()LQRQCQ．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．例4某款女包的利润函数为()LLQ22000.01QQ（元），试求：（1）边际利润函数()LQ；（2）当销量Q9000、10000和11000件时的边际利润，并说明其经济意义.解：（１）因为2()2000.01LQQQ，所以2()(2000.01)2000.02LQQQQ．（２）(9000)2000.02900020L（元）；(10000)2000.02100000L（元）；(11000)2000.021100020L（元）；经济意义分别为：当该款女包的销量在9000件的基础上再增加一件时，总利润相应增加20元；当该款女包的销量在10000件的基础上再增加一件时，总利润不变；当该款女包的销量在11000件的基础上再增加一件时，总利润减少20元.经济意义是：当价格为0P时，如果价格上涨（下降）1个单位，需求将减少（增加）0()QP个单位.设产品的需求函数为()QP，当()QP可导时，边际需求函数为()QP．当价格0PP时，边际需求为0()QP.2.9.5边际需求及其经济意义例5某超市的鸡蛋需求函数为2()75QQPP（千克），求4P（元）时的边际需求，并说明其经济意义．解：边际需求2()(75)2QPPP．当4P（元）时的边际需求为(4)8Q（千克）．经济意义：当价格为４元时，如果价格上涨（下降）１元，则需求量将减少（增加）８千克．2.10弹性分析比如，逢年过节的时候，很多衣服都会打折促销，这时买衣服的人要比平时多得多，这说明衣服的需求量对价格的变动非常敏感；又比如，现在大米涨价了，但我们不会因为它涨价就吃得比以前少，这说明大米的需求量对价格的变动就不太敏感。要准确反映一件商品的需求量对价格变动的敏感程度，就需要用下面的弹性知识来进行分析。1、弹性函数函数()yfx的弹性函数为：EyxyExy2、某点处的弹性函数()yfx在0x处的弹性为：0xxEyEx000()()xfxfx2.10.1弹性函数及其具体意义3、弹性的意义AExEyxx0表示在点0xx处，当x改变1%时，()fx（近似的）改变%A．例1求函数lneyxxx在处的弹性．解：1ln1lnyxxxx∵1ln(1ln)lnlnEyxxxyxExyxxx∴e1lne2lnexEyExEyxyExy它表明当xe时，自变量x改变１％，函数y就改变２％．弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，由弹性定义易知，需求函数()QQP的弹性为()EQPPQEPQ称为需求价格弹性,简称需求弹性.当0PP时，需求价格弹性为定值0PPEQEP．1、需求弹性公式2.10.2需求弹性及其经济意义EyxyExy0PPEQAEP的经济意义是：当价格为0P时，如果价格上涨（或下降）1%，则需求量减少（或增加）%A．2、需求弹性的经济意义例2某种绿豆的需求函数为8PeQ．（1）求需求弹性函数()P；（2）求价格P＝4、8、10（元／千克）时的需求弹性，并说明其经济意义．解：（1）8PeQ，881PeQ，881()88PPPPee（2）41(4)05828(8)18105(10)12584()PPQQ经济意义：由(8)1知，当绿豆单价为8元时，若价格上涨1%，绿豆的需求量将下降1%；由(4)05知，当绿豆单价为4元时，若价格上涨1%，绿豆的需求量将下降0.5%；由(10)125知，当绿豆单价为10元时，若价格上涨1%，绿豆的需求量将下降1.25%．例３已知某款高级时装的需求函数为30004QP，价格500P（元／件）；大米的需求函数为600100QP，价格2P（元／斤）．分别求时装和大米的需求价格弹性，并说明其经济意义．3、需求价格弹性是定价决策的重要依据解：时装：430004750EQPPPQEPQPP5005002500750PEQEP大米：1006001006EQPPPQEPQPP220.526PEQEP时装的需求价格弹性值为2，表明当时装单价为500元时，如果降价（涨价）1%销售，则需求量就增加（减少）2%；大米的需求价格弹性为-0.5，是指当大米价格为2元时，如果降价（涨价）1%销售，那么需求量就增加（减少）0.5%．而对厂家、商家而言，如果大米涨价1%，需求量仅仅减少0.5%，总的来说总收入还是会有所增加，因此大米可以适当涨价．上例中的衣服，当降价1%的时候，需求量却增加2%，可见需求量增加的幅度弥补了降价带来的损失，所以将衣服适当降价会带来总收入的增加；4.需求价格弹性的分类1EQEP——需求富有弹性1EQEP——单位弹性1EQEP——需求缺乏弹性0EQEP——无弹性商品的需求富有弹性（即1EQEP），则采取降价策略；商品的需求缺乏弹性（即1EQEP），则采取涨价策略．营销策略：2()(30)30RRPPQPPPP解：(1)2302(302)3030ERPPPRPEPRPPPRp由弹性公式得收入对价格的弹性为：10302010(2)100.5301020PERPEP将代入上式得经济意义：当该水果的价格为10元时，如果涨价1%，则总收益增加0.5%。课堂练习P93习题2.104题课后小结边际成本及其经济意义边际收益及其经济意义边际利润及其经济意义边际需求及其经济意义一、边际分析边际值0()fx表示自变量在0x的基础上改变一个单位时，函数值（近似）改变0()fx个单位。1、边际——导数2、经济学中的边际2、需求（价格）弹性需求弹性经济意义()EQPPQEPQ0PPEQAEP的经济意义是：当价格为0P时，如果价格上涨（或下降）1%，则需求量减少（或增加）%A．1、弹性公式EyxyExy弹性函数二、弹性分析商品的需求富有弹性（即1EQEP），则采取降价策略；商品的需求缺乏弹性（即1EQEP），则采取涨价策略．营销策略：作业：P89习题2.93、4题P92习题2.102题