5逻辑代数基本公式与化简(数字系)

回顾：1、逻辑函数的表示方法逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图2、三种常用表示方法之间的转换（1）由真值表求逻辑函数式（2）由逻辑函数式列出真值表（4）由逻辑图写出逻辑函数式（3）由逻辑函数式画出逻辑图回顾：3、最小项的概念最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式）最小项：设m为包含n个因子的乘积项，且这n个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称m为n变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项。最小项的编号规则：把最小项m值为1的输入变量取值看作二进制数，其对应的十进制数即为该最小项的编号，记作mi。回顾：4、最小项的其性质最小项的性质：a)对应任意一组输入变量取值，有且只有一个最小项值为1；b)任意两个最小项之积为0；c)全体最小项之和为1；d)具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。§1.5逻辑代数的公式和运算规则二、逻辑代数的运算规律一、逻辑代数的基本运算规则逻辑代数基本公式序号公式序号公式规律1A0=010A+0=A01律2A1=A11A+1=101律31=0;0=1（公理）12A=A还原律4AA=A13A+A=A重叠律5AA=014A+A=1互补律6AB=BA15A+B=B+A交换律7A（BC）=（AB）C16A+（B+C）=（A+B）+C结合律8A（B+C）=AB+AC17A+（BC）=（A+B)(A+C)分配律9AB=A+B18A+B=AB反演律德摩根（De.Morgan）定理序号公式规律19A+AB=A吸收律20A+AB=A+B吸收律21AB+AB=A22A（A+B）=A23AB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+AC吸收律24AAB=AB；AAB=A逻辑代数常用公式一、逻辑代数的基本运算规则数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。0和1表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。基本运算规则加运算规则:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算规则:0•0=00•1=01•0=01•1=1非运算规则:1001AA0,,1,00AAAAAAAA1,,11,0AAAAAAAA三个基本定理（P.27）在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。2.反演定理在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：Y。1.代入定理3.对偶定理在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：Y’。若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。二、逻辑代数的运算规律1、交换律2、结合律3、分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!求证:（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边4、吸收规则（1）原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：CDAB)FE(DABCDAB被吸收吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。长中含短留下短。（2）反变量的吸收：BABAA证明：BAABABAABA)AA(BA例如：被吸收长中含反，去掉反。AABCDCABCDC（3）混合变量的吸收：CAABBCCAAB证明：BC)AA(CAABBCCAABCAABBCAABCCAAB例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB1吸收正反相对，余全完。5、反演定理BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法证明：德•摩根(De•Morgan)定理：反演定理内容：将函数式F中所有的•++•变量与常数均取反2.运算顺序：先括号再乘法后加法。3.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F1.变换时，原函数运算的先后顺序不变例1：与或式注意括号注意括号DBDACBCAF11FABCD1FABCD1FAB(CD)求F1的反。解：反演定理的证明及其应用例2：求F2的反。2FABCCD()解：2FABCCD()2FABCCD()2FABACCD2FABACD2FACD例3：3FABCD求F1的反。解：3FABCD3FA()()BCD3FABCD()()3FABCD()()3FACADBCBD)(EDCBA)(EDCBA例4：EDCBAF2EDCBAF2与或式反号不动反号不动EDCBAF2EDACABAF2解：求F2的反。1.6逻辑函数的公式法化简其他表达式如下：与非-与非式：CABAF或-与非式：))((CABAF或非-或式：DCBAF或非-或非式：CABAF与或非式：CDABF与非-与式：CAABF一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可有多种不同的形式：1.6逻辑函数的公式法化简问：为何要对逻辑函数进行化简？答：逻辑式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，有利于用较少的逻辑门电路来实现这个逻辑函数，既能节省电子元器件，可靠性又高。例1：ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF反变量吸收提出AB=1提出A最简与或式乘积项的项数最少。每个乘积项中变量个数最少。1.6逻辑函数的公式法化简例2：CBBCBAABF)(CBBCBAAB）（反演CBAABCCCBAAB)()(配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收CBBBCAAB)(CBCAAB结论：异或门可以用4个与非门实现。例3:证明BABBAABABABAYBABBAA右边;摩根定律BABBAA)BA(B)BA(ABBABBAAA0ABBA0ABBA右边AA;;展开BABA;异或门可以用4个与非门实现：&&&&ABYBABBAABABABAY例4：化简为最简逻辑代数式ABCCABCBABCACBAYABCCABCBABCACBAY)CC(ABCBA)CC(BAABCBABACBAB)AA(CBABACB例5：将Y化简为最简逻辑代数式。;利用反演定理;利用公式A+AB=A+B；A=ACDBABAY)(CD)BA(BAYCDBABA)(CDBABACDBA