6-4定积分基本公式.

下页上页下页首页变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中上页下页首页设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，二、积分上限函数及其导数上页下页首页abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xx上页下页首页dttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx上页下页首页如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf证dttfxFxaxb)()(0)()(0dttfxb)(0)(,)()(0dttfxa)()()()()(xaxafxbxbfxF)()()()(xbxadttfdxdxF上页下页首页例1求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.上页下页首页例2设)(xf在),(内连续，且0)(xf.证明函数xxdttfdtttfxF00)()()(在),0(内为单调增加函数.证xdtttfdxd0)(),(xxfxdttfdxd0)(),(xf2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF上页下页首页,)()()()()(200xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0xdttf,0)()(tftx,0)()(0xdttftx).0(0)(xxF故)(xF在),0(内为单调增加函数.上页下页首页例3设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在]1,0[上只有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在]1,0[上为单调增加函数.,01)0(F10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF即原方程在]1,0[上只有一个解.令上页下页首页定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.上页下页首页定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证三、牛顿—莱布尼茨公式上页下页首页令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa,)()(CdttfxFxa令bx).()()(aFbFdxxfba牛顿—莱布尼茨公式上页下页首页)()()(aFbFdxxfba微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题..函数的计算联系起来了将定积分的计算与求原莱布尼茨公式—牛顿上页下页首页例4求.)1sincos2(20dxxx原式20cossin2xxx.23例5设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解解102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12上页下页首页例6求.},max{222dxxx解由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211xyo2xyxy122上页下页首页例7求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例8计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.2上页下页首页3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．上页下页首页思考题设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？上页下页首页思考题解答dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx上页下页首页一、填空题：1、baxdxedxd22=_______.2、xadxxfdxd))((__________.3、223)1ln(xdtttdxd_______.4、20)(dxxf____，其中21,210,)(2xxxxxf.5、设,coscos1nxdxmxIdxnxmxsinsin，练习题上页下页首页（1）、当nm时，1I=__,2I=_____，（2）、当nm时，1I=___,2I=_____.6、设,sincosnxdxmx（1）、当nm时，3I=____,（2）、当nm时，3I=_____.7、94)1(dxxx_____.8、33121xdx_____.9、xdttxx020coslim________.上页下页首页二、求导数：1、设函数)(xyy由方程0cos00xyttdtdte所确定，求dxdy；2、设12122,ln,lnttuduuyuduux)1(t,求22dxyd；3、xxdttdxdcossin2)cos(；4、设2031)(xxdxxg，求)1(g.上页下页首页三、计算下列各定积分：1、2122)1(dxxx;2、212121xdx;3、012241133dxxxx;4、20sindxx.四、求下列极限：1、xtxtxdtedte022022)(lim;2、2502021)cos1(limxdttxx.上页下页首页五、设)(xf为连续函数，证明:xxtdtduufdttxtf000))(())((.六、求函数xdttttxf02113)(在区间1,0上的最大值与最小值.七、设时，或，当时，当xxxxxf000,sin21)(求xdttfx0)()（在),(内的表达式.上页下页首页八、设baxf,)(在上连续且,0)(xfxaxbtfdtdttfxF)()()(,证明：（1）、2)('xF;（2）、方程0)(xF在),(ba内有且仅有一个根.上页下页首页一、1、0；2、)()(afxf；3、)1ln(23xx；4、65；5、(1),；(2)0,0；7、;61458、6；9、1.二、1、1sincosxx；2、ttln212；3、)sincos()cos(sin2xxx；4、2.三、1、852；2、3；3、14；4、4.练习题答案四、1、0；2、101.六、335,0.七、xxxxx,10,)cos1(210,0)(.上页首页