6-弯曲杆的强度计算.

学习情境6弯曲杆的强度计算学习要点：梁弯曲变形的概念；梁截面的内力—弯矩和剪力;截面法求梁的内力；梁的内力图;荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制内力图上的应用；叠加法绘制弯矩图。教学目标：理解梁平面弯曲的概念及其受力特点、变形特点；会用截面法计算梁的内力；掌握画梁内力图的基本方法及其规律；会用叠加法画弯矩图；掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件；熟练对梁进行正应力强度校核。引例你会堆放东西吗─预制构件堆放中的力学知识构件受力图垫木反力构件受力图主筋受力图子情境6.1单跨静定梁弯曲时的内力计算6.1.1平面弯曲⒈平面弯曲的概念以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。工程中的弯曲工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图6-8所示。这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面，如图6-9所示。⒉单跨静定梁的类型⑴悬臂梁：梁的一端固定，另一端自由。⑵简支梁：梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。⑶外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外。6.1.2梁的弯曲内力─剪力和弯矩的计算⒈剪力和弯矩的概念VMA00YRV由得：AVRVMCA00MRaM由得：AMRa根据作用与反作用力的关系,其与从左段求出的V和M大小相等、方向相反。⒉剪力和弯矩的正、负号规定⒊用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩的步骤⑴计算支座反力；⑵用假设的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段作为研究对象；⑶画出研究对象的受力图(截面上的剪力V和弯矩M先假设为正的方向)；⑷建立平衡方程，解出内力。[例6-1]求图示悬臂梁截面1-1上的剪力和弯矩。解：取截面1-1右侧部分为研究对象,并作其受力图。1V1M0Y由得：10M由得：10VqaF142513kNV102aMqaFa14215218kNmM求得V1为正值,表示V1的实际方向与假设的方向相同;M1为负值,表示M1的实际方向与假设的方向相反。所以,按梁内力符号规定,1-1截面上的剪力为正、弯矩为负。[例6-2]求图示简支梁截面1-1上的剪力和弯矩。解：⑴求支座反力B12A=0,5+26=0MFFRA305302=35kN6RAB12=0,61+4=0MRFFB301304=25kN6R校核:AB1=YRRFF=35+2530300计算无误！AB=35kN,=25kNRR[例6-2]求图示简支梁截面1-1上的剪力和弯矩。1V1M解：⑴求支座反力AB=35kN,=25kNRR⑵求截面1-1的内力0Y由得：A110RFV135305kNV10M由得：11A120MFR135230140kNmM1V1M0Y由得：B210RFV125305kNV10M由得：12240BMFR125430240kNmM⒋简便法计算内力⑴剪力的规律：梁内任一截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于梁轴线方向上投影的代数和。若以所求内力的截面形心作为转动点，外力使研究对象产生顺时针方向转动趋势时，该外力的投影取正号；反之，取负号。“顺转投影取正”。VYVY左右或MMMMC左C右或⑵弯矩的规律：梁内任一截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数和。若将所求内力的截面固定,外力矩使研究对象产生下凸弯曲变形时(即上侧受压、下侧受拉)，该外力矩取正号；反之，取负号。“下凸外力矩取正”。[例6-3]求图示外伸梁截面1-1上的剪力和弯矩。解：⑴求支座反力B=0M由得：A5+214=0FqmRA45+1.52134R5kNA=0M由得：B41230RFqmA1.5234134R2kN校核:AB=2YRRFq=52421.50计算无误！AB5kN,2kNRR[例6-3]求图示外伸梁截面1-1上的剪力和弯矩。解：⑴求支座反力AB5kN,2kNRR⑵求截面1-1的内力由1-1截面左侧部分的外力来计算内力,根据“顺转投影取正”计算剪力：1A451kNVFR根据“下凸外力矩取正”计算弯矩：1A1251423kNmMRF子情境6.2单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法6.2.1内力方程法(绘制内力图的第一种方法)⒈剪力方程和弯矩方程,VVxMMx梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化,若将横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即：子情境6.2单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法6.2.1内力方程法(绘制内力图的第一种方法)⒉剪力图和弯矩图为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。用沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，用纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正的剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方；而把弯矩图画在梁的受拉一侧，即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方。[例6-4]作图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：⑴求支座反力由对称关系可得：AB12RRql⑵列剪力方程和弯矩方程A12VRqxqlqx0xl≤≤2A11222xMRxqxqlxqx0xl≤≤2111,0222VqlqxMqlxqxxl≤≤[例6-4]作图示简支梁的剪力图和弯矩图。⑶绘制剪力图2111,0222VqlqxMqlxqxxl≤≤A10:2xVqlB1:2xlVql⑶绘制弯矩图A0:0xMB:0xlM2C11:22222lllxMqlq218ql[例6-5]作图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：⑴求支座反力B=0M由得：A=0FbRlAFbRlA=0M由得：B=0RlFaBFaRl⑵列剪力方程和弯矩方程ACA10VRxa≤≤CBA2VRFaxl≤≤AC段:CB段:AC段:CB段:ACA110MRxxa≤≤CBA222MRxFxaaxl≤≤ACFbVlCBFbFaVFll[例6-5]作图示简支梁的剪力图和弯矩图。AFbRlBFaRlAC段:1A1C0:0:xMFabxaMlCB段:2C2B::0FabxaMlxlMAC段:CB段:ACA110MRxxa≤≤CBA222MRxFxaaxl≤≤[例6-6]作图示简支梁的剪力图和弯矩图。解：⑴求支座反力B=0M由得：A=0mRlAmRlA=0M由得：B=0mRlBmRl⑵列剪力方程和弯矩方程AC段:CB段:AC段:CB段:ACA10VRxa≤≤CBA2VRaxl≤≤ACA110MRxxa≤≤CBA22MRxmaxl≤≤[例6-6]作图示简支梁的剪力图和弯矩图。AmRlBmRlAC段:CB段:ACA110MRxxa≤≤CBA22MRxmaxl≤≤AC段:1A1C0:0:xMmaxaMlCB段:2C:mambxaMmll2B:0mxlMlml⒊内力图的规律⑴在方向向下的均布荷载作用的梁段，剪力图为一条斜向右下方的直线，而弯矩图是一条向下凸的二次抛物线。⑵在剪力等于零的截面上弯矩有极值。⑶在无荷载作用的梁段，剪力图是一条平行于梁轴线的直线。而弯矩图是斜直线，且当剪力为正值时，弯矩图斜向右下方；当剪力为负值时，弯矩图斜向右上方。⑷在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力的方向一致。⑸在集中力偶作用处，左右截面上的剪力图不变，而弯矩图出现突变，其突变值等于该集中力偶的力偶矩。⒊内力图的规律6.2.2微分关系法(绘制内力图的第二种方法)⒈剪力V、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系研究表明，平面弯曲梁某段上剪力、弯矩与荷载集度之间具有下列微分关系：d()()Vxqxdx结论一：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度，这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。6.2.2微分关系法(绘制内力图的第二种方法)⒈剪力V、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系研究表明，平面弯曲梁某段上剪力、弯矩与荷载集度之间具有下列微分关系：d()()MxVxdx结论二：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力，这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。6.2.2微分关系法(绘制内力图的第二种方法)⒈剪力V、弯矩M与荷载集度q之间的微分关系研究表明，平面弯曲梁某段上剪力、弯矩与荷载集度之间具有下列微分关系：22d()()Mxqxdx结论三：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等于截面处的分布荷载集度，这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的分布荷载集度。⒉用微分关系法绘制剪力图和弯矩图⑴在无荷载梁段,即q(x)=0时,V(x)是常数,即剪力图是一条平行于x轴的直线；该段弯矩图上各点切线的斜率为常数，因此,弯矩图是一条斜线。⑵均布荷载梁段,即q(x)=常数时,剪力图上各点切线的斜率为常数,V(x)是x的一次函数,剪力图是一条斜直线；此时弯矩图上各点切线的斜率是x的一次函数,因此,M(x)是x的二次函数,弯矩图为二次抛物线，有两种情况：均布荷载作用梁段⒉用微分关系法绘制剪力图和弯矩图⑶弯矩的极值,剪力等于零的截面上，弯矩具有极值;反之,弯矩具有极值的截面上,剪力一定等于零。利用上述剪力、弯矩与荷载之间的微分关系及规律,可简便地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下：①分段，根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段。②根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状。③利用前述计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的剪力值和弯矩值。④逐段直接绘出剪力图和弯矩图。[例6-7]作图示外伸梁的剪力图和弯矩图(l=4m)。解：⑴求支座反力D=0M由得：B5=0242llqlFRlB=0M由得：B2524=0qFRB104220=20kN4RD=0242lllRlqFD4212=0RqFD22081=8kN4R校核:BD2lYRRqF20842200计算无误！BD=20kN,8kNRR[例6-7]作图示外伸梁的剪力图和弯矩图(l=4m)。解：⑴求支座反力BD=20kN,8kNRR⑵分段：AB、BC、CD⑶绘制剪力图AB段:AB08kN2VlVqBC段:BB1282012kNVqlRCD段:DD8kNVR[例6-7]作图示外伸梁的剪力图和弯矩图(l=4m)。解：⑴求支座反力BD=20kN,8kNRR⑵分段：AB、BC、CD⑶绘制剪力图AB段:AB018kNm24MlMqlBC段:B8kNmMCD段:D0M⑷绘制弯矩图CD16kNm2lMR下拉C16kNmM下拉6.2.3叠加法和区段叠加法(绘制内力图的第三种方法)⒈叠加原理梁在n个荷载共同作用时所引起的某一参数(内力、支座反力、应力或变形等)，等于梁