61二元函数的偏导数与全微分

上页下页返回§6.1二元函数的偏导数与全微分一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分上页下页返回一、偏导数定义1设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量0000(,)(,)fxxyfxy，1、偏导数的定义如果00000(,)(,)limxfxxyfxyx存在，则称此极限为函数(,)zfxy在点00(,)xy处对x的偏导数，记为上页下页返回同理可定义函数(,)zfxy在点00(,)xy处对y的偏导数，为00000(,)(,)limyfxyyfxyy00xxyyzx，00xxyyfx，00(,)xfxy或00(,)xZxy记为00xxyyzy，00xxyyfy，00(,)yfxy或00xxyyyz.上页下页返回如果函数(,)zfxy在区域D内任一点(,)xy处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它称为函数(,)zfxy对自变量x的偏导函数，简称偏导数.记作zx，fx，xz或(,)xfxy.同理可以定义函数(,)zfxy对自变量y的偏导数，记作zy，fy，yz或(,)yfxy.上页下页返回偏导数的概念可以推广到二元以上函数如函数在点处(,,)ufxyz(,,)xyz0(,,)(,,)(,,)lim,xxuxxyzuxyzuxyzx0(,,)(,,)(,,)lim,yyuxyyzuxyzuxyzy0(,,)(,,)(,,)lim.zzuxyzzuxyzuxyzz上页下页返回例1求223zxxyy解法1zx(1,2)zx解法2(1,2)zx在点(1,2)处的偏导数.(1,2)zy23,xyzy32xy(1,2)zy264xx1xz213yy2yz上页下页返回偏导数记号是一个例2已知理想气体的状态方程求证:1pVTVTp证,RTpV,RTVppVTVTp说明:(R为常数),pV2RTVVTRpRTpV1.不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,上页下页返回2.偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图上页下页返回偏导数00(,)xfxy就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线0xMT对x轴的斜率.偏导数00(,)yfxy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线0yMT对y轴的斜率.（1）几何意义:上页下页返回（2）偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，上页下页返回则称它们是z=f(x,y)二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数(,),(,)xyzzfxyfxyxy若这两个偏导数仍存在偏导数，()zx()zxy()zyx22()(,)yyzzfxyyyy的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22zx(,);xxfxy2zxy(,)xyfxy2(,);yxzfxyyxx数:上页下页返回类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶()y1nnzxy偏导数为第二、三个偏导数称为混合偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.上页下页返回例3设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx上页下页返回22xye例4求函数2xyze32.zyx解zx22zx322()zzyxxyxzy2zyx2zxy22zy注意:此处22,zzxyyx但这一结论并不总成立.2xye22xye2xye22xye22xye24xye的二阶偏导数及上页下页返回定理如果函数(,)zfxy的两个二阶混合偏导数2zyx及2zxy在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有上页下页返回例5验证函数22(,)lnuxyxy满足方程22220.uuxy证22221lnln(),2xyxy22,uxxxy22,uyyxy222222222222()2,()()uxyxxyxxxyxy222222222222()2.()()uxyyyxyyxyxy22220.uuxy上页下页返回三、全微分如果函数(,)zfxy在点(,)xy的某邻域内有定义，并设(,)Pxxyy为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差(,)(,)fxxyyfxy为函数在点P对应于自变量增量,xy的全增量，记为z，即z(,)(,)fxxyyfxy全增量上页下页返回定义2如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可表示成(),zAxByo其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数(,)fxy在点(x,y)的全微分,记作dzdfAxBy若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，的全增量则称此函数在D内可微.AxBy上页下页返回定理2如果函数(,)zfxy在点(,)xy可微,则函数在该点连续.证(),zAxByo0lim0,z00lim(,)xyfxxyy0lim[(,)]fxyz(,)fxy所以函数(,)zfxy在点(,)xy处连续.“可微”与“连续”的关系？上页下页返回“可微”与“偏导数存在”的关系？定理3（可微的必要条件）如果函数(,)zfxy在点(,)xy可微分，则该函数在点(,)xy的偏导数zx、zy必存在，且函数(,)zfxy在点(,)xy的全微分为zzdzxyxy．上页下页返回反例:函数(,)fxy易知(0,0)(0,0)0,xyff但[(0,0)(0,0)]xyzfxfy(),o注:定理3的逆定理不成立.22()()xyxy22()()xyxy0偏导数存在函数不一定可微!2222,0xyxyxy220,0xy因此,函数在点不可微.(0,0)上页下页返回定理4(可微的充分条件)若函数,zzxy的偏导数(,)xy则函数在点连续，在该点可微.且zzdzdxdyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.uuududxdydzxyz.例如,三元函数(,,)ufxyz的全微分为：上页下页返回例6计算函数在点(2,1)处的全微分.解zx22,2(2,1)(2,1)zzeexy例7计算函数的全微分.解du1(cos)22ydyzy,xyyexyxeyzze上页下页返回偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）内容小结上页下页返回课后作业练习册6.1.2-6.1.3