63-1线性相关性

如何刻画含有很多或无穷多个向量的向量组或向量空间是一个很重要的问题。我们的想法是希望找到其中的有限个向量，用它们就可以来表示这个向量组的所有向量，从而反映向量组的性质.下面首先基于向量的线性运算,我们先给出刻画表示的概念--线性组合.为此，需要解决下面两个问题：1）如何刻画向量之间的“表示”？2）选取哪些有限个向量？这些向量具有什么好的性质？6.3.1线性组合与线性表示1、线性组合.,...,,21的一个线性组合叫做向量组r定义1、设是向量空间V的r个向量，r,,,2112,,,raaa是数域F中任意r个数.我们把和rraaa...221121112001113213，，，，，，，，，R、取里在例.,,000,20,32321321321321的线性组合都是向量组那么.有无数个一个向量组的线性组合.中一个向量每一个线性组合仍然是V).5,7,5(32321例如2、线性表示21112001123213，，，，，，，，，R、取里在例0000311575，，，，，，，，再取线性表示.(1)定义2、如果V中某一向量可以表示成r,,,21r,,,21的线性组合，我们也向量组说可以由向量组32132那么323210000.,,321线性表示可由向量组即向量.,,321线性表示也可由向量组向量.,,0321线性表示可由向量组零向量(2)零向量显然可以由任意一组向量r,,,21线性表示。r000021这是因为xyOα1α2k1α1k2α2k1α1+k2α2=β线性组合的意思是向量β在向量α1，α2所确定的平面上。3、线性表示的有关结论个向量都可以由这一组向量线性表示.(1)命题6.3.1向量组中每一},...,,{21ri都可以由其余向量线性表示?问题:向量组中每一个向量},...,,{21ri可以由向量组线性表示.以由向量组线性表示,那么(2)命题6.3.2如果向量可以由向量组},...,,{21t},...,,{21s线性表示,而每一又都可j},...,,{21t即:线性表示具有传递性.给定一个向量组或向量空间，我们的想法是希望从中找到其中的有限个向量，用它们就可以线性表示这个向量组的所有向量。就像对于n维向量空间而言，基本单位向量构成的基本单位向量组就可表示所有n维向量。我们下面研究具有这样性质的向量组应具有的性质。为此介绍刻画向量组性质的线性相关性概念。6.3.2线性相关与线性无关那么就说线性相关.定义3、设是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数使得r,,,21raaa,,,2102211rraaar,,,211、线性相关45364232133213，，，，，，，，，R、取里在例.,,321线性相关则.002321这是因为包含零向量的向量组一定线性相关。单独一个零向量线性相关。2、线性无关那么就说线性无关.定义4、设是向量空间V的r个向量。如果不存在F中不全为零的数使得r,,,21raaa,,,21r,,,2102211rraaa10001000143213，，，，，，，，，R、取里在例使得找不到不全为零的数321,,aaa,0332211aaa.321线性无关因此，，,0,332211aaa要使事实上)0,0,0()1,0,0()0,1,0()0,0,1(321aaa)0,0,0(),,(321aaa亦即0,0,0321aaa所以.021raaa那么线性无关即r,,,:21,02211rraaa如果线性无关：r,,,21线性无关或r,,,:21惟一。零向量由其表示时表法那么就说线性无关.定义4、设是向量空间V的r个向量。如果不存在F中不全为零的数使得r,,,21raaa,,,21r,,,2102211rraaa单独一个非零向量线性无关。?97101232153213213是否线性相关问取里在例，，，，，，，，，，，R、单独一个向量线性无关该向量非零注：可以把线性相关问题转化为方程组问题。例3.:也线性无关，，向量组线性无关，试证，，已知向量组32132121132100321321211332211321)()(,,kkkkkkkkk，则使设有系数线性无关，则，，因即3213323213210kkkkkk)()(000000321332321kkkkkkkkk12311223312300.kkkkkk可见，仅当，才有，所以向量组，，线性无关证其它方法？3、线性相关性的有关结论(1)定理6.3.1向量组线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合.)2(,,,21rr推论：向量组线性无关,必要且只要其中每一个向量都不是其余向量的线性组合.)2(,,,21rr证明(必要性)不妨设ks0,于是有即向量s可以由其余s-1个向量线性表示.已知向量组1，2，，s线性相关,skkk,,,21,使则存在一组不全为零的数sskkk22111112211sssssskkkkkk充分性即证即向量组1，2，，s,(n2)中有某一个向量i可以由其余s-1个向量线性表示,则该向量组线性相关.即向量组1，2，，s线性相关.1,,,,121sskkkk,使即存在一组不全为零的数ssskkk1112211整理得不妨设向量s可以由其余s-1个向量线性表示.112211ssskkksskkk2211说明1:此性质可用来判断一个向量组是否线性相关;2:线性相关组中并不是所有的向量均可由其余向量线性表示,但至少有一个可以.例如由一个零向量与一个非零向量构成的向量组是线性相关的，但其非零向量不能由零向量线性表示。问题1:线性相关组中哪些向量可以由其余向量线性表示;2:如果可以表示的话,其表出系数如何求？是否是唯一的？(2)命题6.3.4设向量组线性无关,而线性相关.那么β一定可以由线性表示.},,,{21r},,,,{21rr,,,21问题:β由线性表示的表法是否唯一?},,,{21r(2)命题6.3.4设向量组线性无关,而线性相关.那么β一定可以由线性表示，并且表示方法唯一.},,,{21r},,,,{21rr,,,21命题6.3.4可改写为定理设向量组A:1，2，，s；向量组B:1，2，，s,；若向量组A线性无关,向量组B线性相关，则向量可由向量组A线性表示,且表示式惟一.由线性相关定义,则存在一组不全为零的数k1，k2，，ks，k故一定有k0,即向量可由向量组A线性表示.1122sskkkk若k＝0,则k1，k2，，ks不全为零,故向量组A线性相关,与已知矛盾.sskkkkkk2211证使得下面证明惟一性:设两式相减,得sskkk2211sslll2211惟一性得证.ssslklklk)()()(222111由向量组A:1，2，，s线性无关,得0,,0,02211sslklklk.,,,2211sslklklk＝＝＝即},,,{21r(3)命题6.3.3如果向量组线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组有一部分向量线性相关,那么整个向量组},,,{21r},,,{21r也线性相关.整体无关,部分无关;部分相关,整体相关.课堂练习。，，，？，，，，，，，，，，，，，、并写出其表达式线性表示可以由证明是否线性相关问已知321321321)2()1(1211311541121？，？，，xxxxxxxxxxx，xF、线性表示是否能由是否线性相关问取里在213321234532345231)2()1(,24363,2,12][2设，则：nrF,,,,21线性表示r,,,21（1）可以由向量组rraaa2211有解（2）向量组线性相关r,,,2102211rraaa有非零解（3）向量组线性无关r,,,2102211rraaa只有零解线性相关性与齐次线性方程组关系12121122:,,,=(,,,00mmmmAAAxxxAx向量组做成矩阵),则向量组线性相关等价于齐次线性方程组，即有非零解.1211221212112212:,,,00=(,,,.:,,,00=(4,,,.mmmmmmmmAxxxAxAmAxxxAxAm向量组线性相关齐次线性方程组，即有非零解.它做成的矩阵)的秩小于向量个数而向量组线性无关齐次线性方程组，即只有零解.它做成的矩阵)的秩等于向量个数(即未知量)定理.,,,00,,,s2122112211s21s21kkkxxxkkkkkknnnn存在非零解为齐次方程组使得存在不全为零的数线性相关，，，向量组例1判定以下向量组的线性相关性.解由定义,设TTT114,132,121321332211kkk有若有非零解时,则该向量组线性相关.说明：当方程组有惟一零解时,该向量组线性无关,0032042000114132121111111111321kkkkkkkkkkkk计算系数行列式|A|=0,因此方程组有非零解,故该向量组线性相关.由上例可以看出,对于n个n维向量构成的向量组,利用行列式进行判别是一种比较便捷的方法.推论1n个n维向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是其行列式等于零.(即存在非零解)推论2n个n维向量构成的向量组线性无关的充分必要条件是这n个向量构成行列式不等于零.（即只有零解）注当向量的维数与向量组中向量的个数不相等时,就不能用这种方法.