63线性变换

1一.线性变换的定义及性质二.线性变换的像集与核三.线性变换的运算四.线性变换的矩阵§6.3线性变换五.正交变换六.小结与思考题2一.线性变换的定义及性质定义6.8设V是一个线性空间,如果有一个对应关系T,使得对于V中任一向量α,都有V的一个确定向量β与之对应,则称此对应关系T为V的一个变换，称β为α在变换T下的像,记作β＝T(α),称为在变换T下的原像.1.线性变换的定义(1),,()()();VTTT定义6.9设V是数域F上的一个线性空间，T是V上的一个变换，若T满足：(2),,()();VkPTkkT3(1),();VO例1在线性空间V上，定义变换O与E：则称T是V上的一个线性变换.(2)()VE，显然，变换O与E都是V上的线性变换，分别称为V上的零变换与恒等变换.()Tk例2在线性空间V上，对,k为F上的一个数.定义变换T：V这个变换也是V上的一个线性变换，称为V上由数k决定的数乘变换.4,()nAXRTXAXnATR所以是上的一个变换.,nnXRAXR在数乘变换下，当k=0,1时分别称为V上的零变换与恒等变换.12nXXRkR又因为，，，有1212ATXXAXX（）=（）其中X是n维列向量.证明：TA是Rn的一个线性变换.例3对给定的n阶实方阵A，在n维实向量空间Rn上,定义变换TA：证因为51212,AAAXAXTXTX（）（）1111,AATkXAkXkAXkTX（）（）（）所以TA是Rn的一个线性变换.例4在线性空间[a,b]上,定义变换J为:()[,],[()]()xafxCabJfxftdt由积分的性质有:(1)()[,]xaftdtCab(2)[()()][()()]xaJfxgxftgtdt[()][()]JfxJgx6,[()][()][()]xakJkfxkftdtkJfx所以J是[a,b]上的线性变换.2.线性变换的性质设T是线性空间V上的一个线性变换，则：(1)();T2;TT（）（）（）113();mmiiiiiiTkkT（）（）12124,,,,,mmTTT（）若,线性相关，则也线性相关.7证(1)()(0)0();TTT(2)()((1))(1)()();TTTT11221(3)()()mmmiiiTkkkTk1();miiikT12,,,m(4)因为线性相关，所以存在不全为零的数，使得12,,mkkk,1122mmkkk1122()()()()mmkTkTkTT用T作用于上式两边，得8因为不全为零，所以12,,mkkk,12mTTT，，，线性相关.注性质（4）的逆命题不一定成立.即12mTTT，，，线性相关,12,,,m也可能线性无关.换句话说，线性空间的线性变换可能将线性无关的向量组变为线性相关的向量组.9定义6.10定理6.4T是线性空间V上的一个线性变换，则T(V)与都是V的线性子空间.二.线性变换的像集与核设T是V上的一个线性变换，T的全体像(){()/}TVTVker()()TVT且组成的集合称为T的像集或值域，记为T(V)；所有被T变为零向量的向量组成的集合称为T的核，用表示.即ker()T1111,kkTTkTVkV（）（）（因为）10,()VTV所以,T(V)是V上的非空子集.证(1)T(V)是V的线性子空间.12121212,TTTTVV（）（）（因为）从而1212,(),TVV设，则有，使即T(V)对V的加法与数乘封闭，所以T(V)是V的线性子空间.因为,T(θ)=θT(V)≠Φ且1122,TT（），（）11(2)Ker(T)是V的线性子空间：12,ker()T设12()()TT即，从而()KerT因为T(θ)=θ，所以即Ker(T)是V的非空子集.1212()()()TTT+=，12ker()T所以11()()TkkT=k于是，故是V的线性子空间.ker()kT12例5求线性变换TA:的像集与核.,(),nAXRTXAXAn（为阶矩阵）解将矩阵A按列分块，得12(,,,)nA12(,,,)TnXxxx11221nnniiiAXxxxx则1(),niiiiTVYYxxR所以13即T的像集为A的列向量组的线性组合12,,,n的生成子空间.{}KerTXAX即T的核就是齐次线性方程组AX=θ的解空间.定义6.11n维线性空间V的线性变换T的像集T(V)的维数称为线性变换T的秩，线性变换T的的维数称为T的零度.定理6.5T的秩与T的零度之间有下述关系：T的秩+T的零度=n14:()TTA例6在R3上定义线性变换求:(1)T的像集的一组基T及秩；解123254377A其中(2)T的核的一组基T及零度.由例5知T的像集即为A的列向量组生成的空间123，，，设A的列向量组为123，，，则向量组的一个极大无关组就是T的像集的一组基.1512122537，123101254012377000A初等行变换于是T的像集的一组基的维数是2，则T的秩是2；T的零度是3-2=1；T的核是齐次方程组AX=θ的解空间，所以方程组AX=θ的一个基础解系就是T的核的一组基，12.1=16三.线性变换的运算定义6.12设T1，T2是数域P上的线性空间V上的两个线性变换，定义1212TT(T(T((V（）））））1212()()(());(V)TTTT11()()(());(,V)kTkTkP(1)T1，T2的和T1+T2为(2)T1，T2的积T1T2为(3)T1的数乘kT1为17注线性变换T1，T2的乘积T1T2一般不满足交换律.例如在C[a,b]上定义线性变换D与J,满足[]Df(x)f'(x)[]xaJf(x)f(t)dt[][]DJf(x)D{Jf(x)}则[]xaDf(t)dtf(x)即DJ=E.[][]JDf(x)J{Df(x)}xaf'(t)dtf(x)即JD≠E.18定义6.13设T是线性空间V上的一个线性变换，如果有V上的线性变换S存在，使TS=ST=E容易证明：线性变换的和、乘积、数乘、可逆变换的逆变换仍然是线性变换.则称变换T为可逆变换，称S为T的逆变换，T的逆变换记作T-1.19证由定义6.12知，11211212222233331,,23xxxxxxTxxTxxxxxx例7在R3中，定义线性变换T1，T2为1212()(),()(),(2)().TTTTT求1212()()()()TTTT132224336201212()()(())TTTT1312233T11(2)()2(())TT122243621四.线性变换的矩阵定义6.14设1212(,,,)[(),(),,()]nnTTTT12,,,n是线性空间V的一组基T是V上的一个线性变换，若有n阶矩阵A，使12(,,,)nA则称矩阵A为线性变换T在基下的矩阵.12,,,n注(1)线性变换T在基下的矩阵A的第i列是基的像在基下的坐标；12,,,n12,,,n(2)在已知基的条件下,由坐标的唯一性确定了线性变换T的矩阵A是唯一的；12,,,n22反之，当给定矩阵A，则被唯一确定，从而线性变换T唯一确定.于是，在一组基下线性变换T与n阶矩阵A一一对应.12,,,n已知在基下的坐标为V12()TnXxxx，，，求T(α)的坐标12(,,,)TnYyyy1122nnxxx因为12(,,,)nX1122()nnTyyy12=(,,,)nY①2312()[(,,,)]nTTX②1122()nnTxxx1122()()()nnxTxTxT12[(),(),,()]nTTTX12(,,,)nAX比较①与②式,并由坐标的唯一性知YAX1122nnyxyxAyx即24故上式即为在基下的坐标的计算公式.12,,,n例8在R3中定义线性变换T为：T（x，y，z）=（x，y，0），求:(1)T在基(2)T在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵；123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)下的矩阵.解因为1123(1)(1,0,0)(1,0,0)100TT2123(0,1,0)(0,1,0)011TT253123(1,0,0)(0,0,0)000TT所以T在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)100010.000A下的矩阵为1123(2)(1,0,0)(1,0,0)100TT2123(1,1,0)(1,1,0)010TT3123(1,1,1)(1,1,0)010TT所以T在基123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)26下的矩阵为100011.000B由此可见，同一线性变换在不同基下的矩阵是不同的.例9在R3中定义线性变换T为：(,,)(2,4,3)Txyzyzxyx求:(1)T在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵；解因为271123(1,0,0)(0,1,3)013TT2123(0,1,0)(2,4,0)240TT3123(0,0,1)(1,0,0)100TT所以T在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵为021140.300A28例10已知3维线性空间V上的线性变换T在基123,,123111011,23121A向量，下的矩阵为求T(α)在基下的坐标.123,,解因为向量α在基下的坐标为(1,-2,3)T,123,,所以T(α)在基下的坐标为123,,111114201121312130A29定理6.6设T1，T2是线性空间V上的两个线性变换是V的一组基，A1，A2分别为线性变换12,,,nT1，T2在基标的矩阵，则12,,,n(1)T1，T2的和T1+T2对应于矩阵的和A1+A2；(2)T1，T2的乘积T1T2对应于矩阵的乘积A1A2；(3)T1的的数乘kT1对应于矩阵的的数乘kA1；(4)可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.30解(1)因为112121(,,,)(,,,),nnTA