65用Z变换解差分方程

§6.5用z变换解差分方程§6.5用z变换解差分方程给出利用Z变换解差分方程的一般规律；方法的原理：基于Z变换的线性和位移性将差分方程转化为代数方程使求解过程简化)()(00rnxbknyaMrrNkk线性时不变离散系统的差分方程一般形式：（一）用z变换求解差分方程的步骤1.对差分方程进行单边z变换(用右移位性质)2.化简求响应zY3.对zY求反变换，得到右边序列ny)()(numnxZT1])()([mkkmzkxzXz上节内容复习z变换的性质移位特性，线性加权性质，指数加权性质，初值定理，终值定理，卷积定理逆z变换，X(z)→x(n)重点掌握部分分式展开法,注意X(z)的收敛域z平面与s平面的对应关系单位圆内左半平面；单位圆外右半平面；单位圆虚轴一对多的关系例已知系统框图若输入0002nnnxn,452,211yy求系统响应ny。1、列差分方程：12213nxnxnynyny解：2、方程两边做单边z变换21213121yyzzYzyzYzzY)1()()(1xzXzzX0)1(2,||,2)(xzzzzX已知：452,211yy3、整理得2212zzzzY12213nxnxnynyny)()(numnxZT1])()([mkkmzkxzXz4、求y(n)2212zzzzY22112221212)1zBzBzAzzzzY2222212)3zzzzzzzYnunnynnn222212)42）21A，,21B22B响应是右边序列（二）差分方程解的检验解是正确的则两种结果相同若解的表达式求出原方程迭代出2,1,02,1,0yyyyyy§6.6离散系统的系统函数H(z)（一）系统函数H(z)的定义定义一：系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比定义二：系统单位样值响应的z变换)]([)(nhZTzH)()()(zXzYzH（二）H(z)的求解方法1：根据定义一1）零状态条件下，对差分方程两端做z变换2）化简并整理得H(z)=Y(z)/X(z)方法2：根据定义二列系统差分方程→求h(n)→z变换→H(z)例已知离散系统的差分方程为：12213nxnxnynyny121123)1(zzXzYzzYzzY解：zXzYzH)2(求系统函数H(z)22311211zzzzz零状态响应，初值为0)()(numnxZT1])()([mkkmzkxzXz综合例：书：87页，例8-19（三）利用H(z)求LTI系统的零状态响应)]()([)(][)11zHzXZTnyx(n)ZTX(z)1.求系统函数H(z)2.任意激励信号x(n)的零状态响应)()()()]([)()21nxnhnxzHZTnh(四)由H(z)的零极点分布确定h(n)的性质由于系统函数zH与单位样值响应nh为一对z变换对,即：nhZTzH，zHZTnh1所以可从zH的零极点分布情况，确定单位样值响应nh的性质NkkMrrNkkkMrrrzzzzGzazbzH1100rz：零点,kz：极点展成部分分式：（假设无重根）NkkkzzzAzH0NknkkNkkknuzAzzzAZTnh001响应总是右边序列zH的极点kz，可以是不同的实数或共轭复数，决定了nh的特性。zk在单位圆内，h(n)为衰减序列zk在单位圆外，h(n)为发散序列zk在单位圆上且为一阶：h(n)不衰减也不发散zk在单位圆上且为高阶：h(n)为发散序列上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点分布与h(t)形状的关系直接得来NknkkNkkknuzAzzzAZTnh001（五）由H(z)判定离散系统的稳定性稳定系统：zH的全部极点落在单位圆之内。临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位于单位圆内。不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。第六章z变换、离散系统的z域分析小结§6.1Z变换的定义与收敛域§6.2Z变换的性质§6.3逆Z变换§6.4Z平面与S平面的映射关系§6.5用Z变换解差分方程§6.6离散系统的系统函数H(z)MrrNkkrnxbknya00)()(MrrmmrrlNkklkkzmxzXzbzlyzYza0101])()([])()([NkkkMrMrrmmrrrrzazmxzbzbzX0001])([)(NkkklklNkkkzazlyzazY010])([)(零输入响应零状态响应