6Python科学计算与数据处理

1SymPy—符号运算库目录从例子开始欧拉恒等式球体体积数学表达式符号数值运算符和函数符号运算表达式变换和化简方程2目录微分微分方程积分其他功能34SymPy是一个符号数学Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码的精简而易于理解和可扩展。SymPy完全由Python写成，不需要任何外部库。可用SymPy进行数学表达式的符号推导和演算。可使用isympy运行程序，isympy在IPython的基础上添加了数学表达式的直观显示功能。启动时还会自动运行下面的程序：这段程序首先将Python的除法操作符“/”从整数除法改为普通除法。然后从SymPy库载入所有符号，并且定义了四个通用的数学符号x、y、z、t，三个表示整数的符号k、m、n，以及三个表示数学函数的符号f、g、h。5from__future__importdivisionfromsympyimport*x,y,z,t=symbols('x,y,z,t')k,m,n=symbols('k,m,n',integer=True)f,g,h=symbols('f,g,h',cls=Function)#init_printing()从例子开始欧拉恒等式此公式被称为欧拉恒等式，其中e是自然常数，i是虚数单位，是圆周率。此公式被誉为数学中最奇妙的公式，它将5个基本数学常数用加法、乘法和幂运算联系起来。从SymPy库载入的符号中，E表示自然常数，I表示虚数单位，pi表示圆周率，因此上面的公式可以直接如下计算：6E**(I*pi)+1010ie从例子开始SymPy除了可以直接计算公式的值之外，还可以帮助做数学公式的推导和证明。欧拉恒等式可以将代入下面的欧拉公式得到：在SymPy中可以使用expand()将表达式展开，用它展幵试试看：没有成功，只是换了一种写法而已。当expand()的complex参数为True时，表达式将被分为实数和虚数两个部分：7cossinixexixixeexpand(E**(I*x))exp(I*x)从例子开始这次将表达式展开了，但是得到的结果相当复杂。显然，expand()将x当做复数了。为了指定x为实数，需要重新定义x:终于得到了需要的公式。可以用泰勒多项式对其进行展开：8expand(exp(I*x),complex=True)I*exp(-im(x))*sin(re(x))+exp(-im(x))*cos(re(x))x=Symbol(x,real=True)expand(exp(I*x),complex=True)Isin(x)+cos(x)从例子开始series()对表达式进行泰勒级数展开。可以看到展开之后虚数项和实数项交替出现。根据欧拉公式，虚数项的和应该等于sin(x)的泰勒展开，而实数项的和应该等于cos(x)的泰勒展开。9tmp=series(exp(I*x),x,0,10)printtmp1+I*x-x**2/2-I*x**3/6+x**4/24+I*x**5/120-x**6/720-I*x**7/5040+x**8/40320+I*x**9/362880+O(x**10)tmp从例子开始下面获得tmp的实部：下面对cos(x)进行泰勒展开，可看到其中各项和上面的结果是一致的。10re(tmp)x**8/40320-x**6/720+x**4/24-x**2/2+re(O(x**10))+1series(cos(x),x,0,10)1-x**2/2+x**4/24-x**6/720+x**8/40320+O(x**10)从例子开始11下面获得tmp的虚部:下面对sin(x)进行泰勒展开，其中各项也和上面的结果一致。由于展开式的实部和虚部分别等于cos(x)和sin(x),因此验证了欧拉公式的正确性。im(tmp)x**9/362880-x**7/5040+x**5/120-x**3/6+x+im(O(x**10))series(sin(x),x,0,10)x-x**3/6+x**5/120-x**7/5040+x**9/362880+O(x**10)ixe从例子开始球体体积Scipy介绍了如何使用数值定积分计算球体的体积，SymPy中的integrate()则可以进行符号积分。用integrate()进行不定积分运算：如果指定变量x的取值范围,integrate()就能进行定积分运算:12integrate(x*sin(x),x)-x*cos(x)+sin(x)integrate(x*sin(x),(x,0,2*pi))-2*pi从例子开始为了计算球体体积，首先看看如何计算圆的面积，假设圆的半径为r，则圆上任意一点的Y坐标函数为：因此可以直接对函数y(x)在-r到r区间上进行定积分得到半圆面积。13x,y,r=symbols('x,y,r')f=2*integrate(sqrt(r*r-x**2),(x,-r,r))printf2*Integral(sqrt(r**2-x**2),(x,-r,r))22()yxrx从例子开始首先需要定义运算中所需的符号，这里用symbols()一次创建多个符号。Integrate()没有计算出积分结果，而是直接返冋了输入的算式。这是因为SymPy不知道r是大于0的，重新定义r，就可以得到正确答案了：接下来对此面积公式进行定积分，就可以得到球体的体积，但是随着X轴坐标的变化，对应切面的半径也会发生变化。14r=symbols('r',positive=True)circle_area=2*integrate(sqrt(r**2-x**2),(x,-r,r))printcircle_areapi*r**2从例子开始假设X轴的坐标为x,球体的半径为r,那么x处球的切面半径可以使用前面的公式y(x)计算出。因此需要对圆的面积公式circle_area中的变量r进行替代：然后对circle_area中的变量x在区间-r到r上进行定积分，就可以得到球体的体积公式:15circle_area=circle_area.subs(r,sqrt(r**2-x**2))printcircle_areapi*(r**2-x**2)printintegrate(circle_area,(x,-r,r))4*pi*r**3/3从例子开始16用subs进行算式替换:subs()可以将算式中的符号进行替换，它有3种调用方式：expression.subs(x,y):将算式中的x替换成y.expression.subs({x:y,u:v}):使用字典进行多次替换.expression.subs([(x,y),(u,v)])：使用列表进行多次替換.请注意多次替换是顺序执行的，因此：expression.subs([(x,y),(y,x)])并不能对符号x和y进行交换。数学表达式符号创建一个符号使用symbols()，此函数会返回一个Symbol对象，用于表示符号变量，其有name属性，这是符号名，如：其中左边的x是一个符号对象，而右边括号中用引号包着的x是符号对象的name属性，两个x不要求一样，但是为了易于理解，通常将符号对象和name属性显示成一样，另外name属性是引号包起来的。如要同时配置多个符号对象，symbols()中多个name属性可以以17x0=symbols('x0‘)数学表达式空格或者逗号分隔，然后用引号包住，如下：一次配置三个符号，由于符号对象名和name属性名经常一致，所以可以使用var（）函数，如：这语句和上个语句功能一致，在当前环境中创建了4个同名的Symbol对象（为了防止误会，使用symbols其实更好）。18var(x0,y0,x1,y1)(x0,y0,x1,y1)x0,y0,x1,y1=symbols('x0,y0,x1,y1')数学表达式上面的语句创建了名为x0、y0、x1、y1的4个Symbol对象，同时还在当前的环境中创建了4个同名的变量来分别表示这4个Symbol对象。因为符号对象在转换为字符串时直接使用它的name属性，因此在交互式环境中看到变量,x0的值就是x0，但是査看变量x0的类型时就可以发现，它实际上是一个Symbol对象。19x0x0type(x0)sympy.core.symbol.Symbolx0.name'x0'type(x0.name)str数学表达式变量名和符号名当然也可以是不一样的，例如：数学公式中的符号一般都有特定的假设，例如m、n通常是整数，而z经常表示复数。在用var()、symbols()或Symbol()创建Symbol对象时，可以通过关键字参数指定所创建符号的假设条件，这些假设条件会影响到它们所参与的计算。20a,b=symbols(alpha,beta)a,b(alpha,beta)数学表达式例如，下面创建了两个整数符号m和n,以及一个正数符号x:每个符号都有许多is_*属性，用以判断符号的各种假设条件。在IPython中，使用自动完成功能可以快速査看这些假设的名称。注意下划线后为大写字母的属性，用来判断对象的类型;而全小写字母的属性，则用来判断符号的假设条件。21m,n=symbols(m,n,integer=True)x=Symbol(x,positive=True)数学表达式22x.is_#按了tab键自动完成x.is_Symbol#x是一个符号Truex.is_positive#x是一个正数Truex.is_imaginary#因为x可以比较大小，所以它不是虚数Falsex.is_complex#x是一个复数，因为复数包括实数，而实数包括正数True数学表达式23使用assumptions0属性可以快速査看所有的假设条件，其中commutative为True表示此符号满足交换律，其余的假设条件根据英文名很容易知道它们的含义。在SymPy中，所有的对象都从Basic类继承，实际上这些is_*属性和assumptions0属性都是在Basic类中定义的：x.assumptions0Symbol.mro()数学表达式数值为了实现符号运算，在SymPy内部有一整套数值运算系统。因此SymPy的数值和Python的整数、浮点数是完全不同的对象。为了使用方便，SymPy会尽量自动将Python的数值类型转换为SymPy的数值类型。此外，SymPy提供了一个S对象用于进行这种转换。在下面的例子中，当有SymPy的数值参与计算时，结果将是SymPy的数值对象。24数学表达式“5/6”在SymPy中使用Rational对象表示，它由两个整数的商表示，数学上称之为有理数。也可以直接通过Rational创建：251/2+1/3#结果为浮点数0.8333333333333333S(1)/2+1/S(3)#结果为SymPy的数值对象5/6Rational(5,10)#有理数会自动进行约分处理1/2数学表达式26运算符和函数SymPy重新定义了所有的数学运算符和数学函数。例如Add类表示加法，Mul类表示乘法，而Pow类表示指数运算，sin类表示正弦函数。和Symbol对象一样，这些运算符和函数都从Basic类继承，可在IPython中查看它们的继承列表(例如:Add.mro())。可以使用这些类创建复杂的表达式：var(x,y,z,n)Add(x,y,z)x+y+zAdd(Mul(x,y,z),Pow(x,y),sin(z))x*y*z+x**y+sin(z)数学表达式由于在Basic类中重新定义了__add__()等用于创建表达式的方法，因此可以使用和Python表达式相同的方式创建SymPy的