6方程组的直接法.

第六章方程组的直接法本章内容§6.1解三对角方程组的追赶法§6.2解一般方程组的矩阵三角分解法§6.3解对称正定方程组的Cholesky法§6.4解一般方程组的高斯消去法小结本章要求1.掌握三对角方程组的追赶法2.理解矩阵分解方法的基本原理,3.掌握对称正定方程组的Cholesky法3.掌握一般方程组的高斯消去法§6.1解三对角方程组的追赶法本节内容一.追赶法的设计思想二.追赶法的矩阵分解三.例返回章节目录§6.1解三对角方程组的追赶法一.追赶法的设计思想niabxaaanibxbAxiiiinnii,,2,1,/00AA)2,,2,1,IA1)-.12211称为对角方程组，解为是方程组的解即为是例。对于回顾上一章中的几个特从简单入手对角阵单位阵§6.1解三对角方程组的追赶法nibxabxaxaxabxaxabxaaaaaaaijijijnnnnnnnnnn,,2,1,0AA)3122112222121111121221211或方程组称为是下三角三角阵§6.1解三对角方程组的追赶法11nn2221121111111121,0A,,,3,2,/)(/,xxxaaaaaaniaxabxabxxxxnnnnijiijijiin即可求得解自下而上回代方程组对于同理回代公式为即可求得解自上而下回代上三角nnnnnnnfxbxafxbxafxbbababfx12211211122100AA4)A方程组称为是个特例，对于本章接着研究另外的几下二对角下二对角阵§6.1解三对角方程组的追赶法主对角线下次对角线§6.1解三对角方程组的追赶法nniiiiinbcbcbnibxafxbfxxxx00A,,,3,2,/)(/,1211111121上二对角阵对于同理回代公式为顺序求得解自上而下回代上次对角线主对角线称为“追”的过程1,,2,1,/)(/,111n2322212111nnibxcfxbfxxxxfxbfxcxbfxcxbiiiiinnnnnnn回代公式为逆序求得解自下而上回代方程组称为上二对角§6.1解三对角方程组的追赶法称为“赶”的过程§6.1解三对角方程组的追赶法1,,3,2,A5)1111211111122211nifxbxafxcxbxafxcxbbacbacbacbAnnnnniiiiiiinnnnn方程组称为是三对角三对角阵主对角线下次对角线上次对角线三对角方程组的不能从某一个方程中直接求出x的一个分量，然后回带求解。解决方案是将三对角方程组化归为二对角方程组，然后求解。化归方法：消元法，依据的原理如下：对方程组作如下处理，其解不变：(1)将某个方程等号两端同时乘/除一个非0常数(2)将2个方程相加/减(3)交换2个方程的次序§6.1解三对角方程组的追赶法§6.1解三对角方程组的追赶法3132212113132212111111121113213211321211|0||011|0||0:A003fbafcbayufbafcbafcbfxbxafxcxbxafxcxbfffxxxbacbacbnnnnniiiiiii步第理的增广矩阵进行消元处对方程组阶考察三对角方程(1)x1的系数化为1§6.1解三对角方程组的追赶法3221132332322113332211333212221211|100|10|015|00|10|014|0|10|013|0|0|012yyuyuayfaubyuyufbayuyufbaayfcaubyu步第步第步第步第方程(2)消去x1项方程(2)x2的系数化为1方程(3)消去x2项方程(3)x3的系数化为1单位上二对角阵§6.1解三对角方程组的追赶法12332211333222211133232212112)()(1--xxxyuyuyyxxuyxxuyxyxyxuxyxux、回代过程：逆序求解、消元过程：顺序计算解法总结：三对角方程组的通过回代，得到“追”的过程“赶”的过程11111211122111122211nnnnnnnnnnuuudldldldbacbacbacb§6.1解三对角方程组的追赶法二.追赶法的矩阵分解三对角阵下二对角阵单位上二对角阵§6.1解三对角方程组的追赶法列得：第行第，，，＋，，，由矩阵乘法1,,1)(1)2(1)1(2221222222222212221111111111iiiiidcuulbdalcudbdulaldcubdcudbd0000idli11111iiiuuiiii1iiiiiiiiicudbdulal，，1.1.1）（单位上二对角方程组（下二对角方程组）式，，故有：yUxbLyfLUxfAxnidcuniulbdaldcubdiiiiiiii)1,,3,2(1),,3,2(1111111§6.1解三对角方程组的追赶法2),,3,2(111112112111221式，得解nidylbydbybbbbyyyydldldldbLyiiiiinnnnnnnn追，相当于消元过程§6.1解三对角方程组的追赶法3)1,,1(11111121121121式，得解nixuyxyxyyyyxxxxuuuyUxiiiinnnnnnn式1—式3叫追赶法，也称Thomas法。工作量小，非常有效。赶，相当于回代过程§6.1解三对角方程组的追赶法21/47§5.7解三对角线方程组的追赶法3913939221139116311323922113911631132113911631132116311323113232432111131113111311311313133123123123A9151173123123123解解线性方程组例xxxx22/47§5.7解三对角线方程组的追赶法4321411114915117111311111113A43213920511403743213922116323920511403743214321391391139311392211632391391139311xxxxxxxxyyyyyyyy，得再解方程，得解方程所以当满足条件|b1||c1|0；|bi||ai|+|ci|，aici0，i=2,3,…,n-1|bn||an|0；时，追赶法是数值稳定的追赶法的优点：计算程序简单，存贮量少，计算量小。§6.1解三对角方程组的追赶法矩阵A为对角占优阵§6.2解一般方程组的矩阵三角分解法本节内容一.矩阵的LU分解二.Crout分解法和Doolittle分解法返回章节目录§6.2解一般方程组的矩阵三角分解法一.一般形式矩阵的LU分解逆序计算回带求解：上三角方程组顺序计算回带求解：下三角方程组即之积和上三角阵可分解为下三角阵组对一般形式的线性方程1121)(,ULAxxxyUxyyybLyyUxbLybL(Ux)bxLUULAbAxnnn追赶二、Crout分解法和Doolittle分解法§6.2解一般方程组的矩阵三角分解法分解分解种分解的实施方案有矩阵的DolittleULACroutLUA112LU单位上三角阵单位下三角阵§6.3解对称正定方程组的Cholesky法本节内容一.对称正定矩阵二.平方根法三.LDLT分解返回章节目录§6.3解对称正定方程组的Cholesky法。根法与改进的平方根法些特殊的解法，如平方单的形式，从而导出一三角分解也有更简矩阵的这一特性使它的全部特征值均大于零。即其各阶顺序主子式及常常具有对称正定性，方程组的系数矩阵工程实际计算中，线性§6.3解对称正定方程组的Cholesky法。，则有量正定阵：对任意非零向；，即对称阵：满足若矩阵对称正定矩阵一0)2()1()(.AxxRxaaAAaATnjiijTnnij对称正定阵的几个重要性质(2)A的顺序主子阵Ak亦对称正定(3)A的特征值i0(1)A1亦对称正定(4)A的全部顺序主子式det(Ak)0）（其中证略）的对角元素皆为正。（且使得，阵在唯一的非奇异下三角是对称正定矩阵，则存设平方根法二，nilaallllllllllllaaaaaaaaaLLLALAiijiijnnnnnnnnnnnnnnT,,2,10.2221211121222111212222111211§6.3解对称正定方程组的Cholesky法22121222222212121222222222111111111111111111n),3,4,(jj2L)222L1))2(n),2,(jj1L)2)()1)1(2222lllalaallllLlalallLlalaallLalaljjjjjjjTTjjjjjT列第行第列第行第列第行第取正由矩阵乘法§6.3解对称正定方程组的Cholesky法）（　　　　　，可得nkjllalllalkkmjmkmjkkkjmkmkmkkkk,,11:)(11112§6.3解对称正定方程组的Cholesky法)1,,1,()),,2,1()2()1(,,111nnilxlyxnilylbyxyxLybLybxLLbAxAiinikkkiiiiiikkikiiTT。，求；，求形方程组，分解为求解两个三角即求解求解完成平方根分解后当矩阵§6.3解对称正定方程组的Cholesky法改进分解。可使用为了避免开方这样增加了计算量。次开方运算时需作在求缺点：受到控制