6第六节对称矩阵的标准形

第六节实对称矩阵的标准形上页下页返回由第五章得到，任意一个对称矩阵A都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵C使CTAC成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：上页下页返回对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使TTAT=T-1AT成对角形.先讨论实对称矩阵的一些性质，它们本身在今后也是非常有用的.我们把它们归纳成下面几个引理.引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数.证明设λ0是A的特征值，于是有非零向量ξ=(x1,x2,…,xn)T满足Aξ=λ0ξ.上页下页返回令,),,,(21Tnxxx考察等式其中是xi的共轭复数，则ix.0A,)()()(TTTTTAAAA.00TT其左边为，右边为.故T0T0又因ξ是非零向量.02211nnTxxxxxx故，即λ0是一个实数.证毕.00上页下页返回对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义一个线性变换A如下：nnxxxAxxx2121(1)A显然A在标准正交基100,,010,00121n(2)下的矩阵就是A.上页下页返回引理2设A是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意α,β∈Rn，有(Aα,β)=(α,Aβ),(3)或βT(Aα)=αT(Aβ)定义12欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.证明只要证明最后一个等式就行了.实际上βT(Aα)=βTATα=(Aβ)Tα=αT(Aβ).证毕.等式(3)把实对称矩阵的特性反映到线性变换上，我们引入上页下页返回引理3设A是对称变换，V1是A-子空间，则V1⊥也是A-子空间.证明设α∈V1⊥，要证Aα∈V1⊥，即Aα⊥V1.任取β∈V1，有Aβ∈V1.因α⊥V1⊥，故(α,Aβ)=0.因此容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.(Aα,β)=(α,Aβ)=0.即Aα⊥V1，Aα∈V1⊥，V1⊥也是A-子空间.证毕.上页下页返回引理4设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交.证明设λ,μ是A的两个的不同特征值，α,β分别是属于λ,μ的特征向量：即Aα=λα，Aβ=μβ.定义线性变换A如(1)，于是Aα=λα，Aβ=μβ.由(Aα,β)=(α,Aβ)，有λ(α,β)=μ(α,β).因为λ≠μ，所以(α,β)=0.即α,β是正交的.证毕.上页下页返回定理7对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使TTAT=T-1AT成对角形.证明由于实对称矩阵和对称变换的关系，只要证明n维欧氏空间中对称变换A有n个特征向量做成标准正交基就行了.现在来证明主要定理我们对空间的维数n作数学归纳法.n=1时，显然定理的结论成立.设n-1时定理的结论成立.上页下页返回对n维欧氏空间V，线性变换A有一特征向量α1，其特征值为实数λ1.把α1单位化，还用α1代表它.作L(α1)的正交补，设为V1.由引理3，V1是A的不变子空间，其维数为n-1.又A|V1显然也满足(3)，仍是对称变换.据归纳法假设，A|V1有n-1个特征向量α2,…,αn作成V1的标准正交基.从而α1,α2,…,αn是V的标准正交基，又是A的n个特征向量.证毕.下面来看看在给定了一个实对称矩阵A之后，按什么办法求正交矩阵T使TTAT成对角形.在定理的证明中看到，矩阵A按(1)式在Rn中定义了一个线性变换.求正交矩阵T的问题就相当于在Rn中求一组由A的特征向量构成的标准正交基.上页下页返回事实上，设nnnnnnnttttttttt21222122121111,,,上页下页返回是Rn的一组标准正交基，它们都是A的特征向量.显然，由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡矩阵就是nnnnnntttttttttT212222111211T是一个正交矩阵，而T-1AT=TTAT就是对角形.上页下页返回根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行：1.求出A的特征值.设λ1,…,λr是A的全部不同的特征值.2.对于每个λi，解齐次方程组0)(21nixxxAE求出一个基础解系，这就是A的特征子空间Vλi的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出Vλi的一组标准正交基.iiki,,1上页下页返回3.因为λ1,…,λr两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数n.因此，它们就构成Rn的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了.rrkrk,,,,,,11111上页下页返回例已知0111101111011110A求一正交矩阵T使TTAT成对角形.解先求A的特征值.由111111111111||AE1111100101011102上页下页返回即得A的特征值为1(三重)，-3.110101111)1(3.)3()1(3其次，求属于1的特征向量.把λ=1代入求的基础解系为α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(-1,0,0,1)..0,0,0,04321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(4)上页下页返回把它正交化.1,31,31,31),(),(),(),(,0,1,21,21),(),(,)0,0,1,1(222231111333111122211再单位化，得.123,121,121,121,0,62,61,61,)0,0,21,21(321上页下页返回这是属于三重特征值1的三个标准正交的特征向量.把它单位化，得再求属于特征值-3的特征向量.用λ=-3代入(4)，求得基础解系为α4=(1,-1,-1,1)..)21,21,21,21(4特征向量η1,η2,η3,η4构成R4的一组标准正交基，所求的正交矩阵为上页下页返回.211230021121620211216121211216121T而得到.3000010000100001ATTT为对角形.解毕.上页下页返回说明：这里的正交矩阵并不是唯一的.本题所作的正交矩阵是T=(η1,η2,η3,η4).显然取正交矩阵为T=(η2,η1,η3,η4)或T=(η3,η2,η1,η4)等，同样有如取正交矩阵为T=(η4,η1,η2,η3)，则有.3000010000100001ATTT.1000010000100003ATTT应该指出，在定理7中，对于正交矩阵T我们还可以进一步要求上页下页返回|T|=1.事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为-1，那么取1111S则T1=TS还是正交矩阵，而且|T1|=|T||S|=1显然T1TAT1=TTAT.上页下页返回如果线性替换nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,，的矩阵C=(cij)是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.用二次型的语言，定理7可以叙述为：上页下页返回定理8任意一个实二次型jiijninjjiijaaxxa,11都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211nnyyy其中平方项的系数λ1,λ2,…,λn就是二次型矩阵A的特征多项式全部的根.最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.上页下页返回在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是yzaxzaxyazayaxa2313122332222112220222321dzbybxb(5)令321332313232212131211,,bbbBzyxXaaaaaaaaaA则(5)可以写成02dXBAXXTT(6)上页下页返回经过转轴，坐标变换公式为,111333231232221131211zyxccccccccczyx或者X=CX1其中C为正交变换且|C|=1.在新坐标系中，曲面的方程就是.0)(2)(111dXCBXACCXTTT根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使上页下页返回.000000321ACCT这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为02221*31*21*1213212211dzbybxbzyx其中.),,(),,(321*3*2*1Cbbbbbb这时，再按照λ1,λ2,λ3是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当λ1,λ2,λ3全不为零时，就作移轴上页下页返回.,,3*3212*2211*121bzzbyybxx上页下页返回其中.32*322*212*1*bbbdd于是曲面的方程化为0*223222221dzyx