7-动态规划.

动态规划DynamicProgramming2F(n)=1ifn=0or1F(n-1)+F(n-2)ifn1n012345678910F(n)1123581321345589斐波纳契数列F(n)3递归vs动态规划递归版本:F(n)1ifn=0orn=1then2return13else4returnF(n-1)+F(n-2)动态规划:F(n)1A[0]=A[1]←12fori←2tondo3A[i]←A[i-1]+A[i-2]4returnA[n]太慢!效率高!算法复杂度是O(n)4方法概要构造一个公式，它表示一个问题的解是与它的子问题的解相关的公式.E.g.F(n)=F(n-1)+F(n-2).为这些子问题做索引，以便它们能够在表中更好的存储与检索(i.e.,数组array【】)以自底向上的方法来填写这表格;首先填写最小子问题的解.这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时,可以利用比它更小的所有可利用的子问题的解.我们称这种方法为：动态规划5动态规划算法算法思想将待求解的问题分解成若干个子问题，通过存储子问题的解而避免计算重复的子问题，并由子问题的解得到原问题的解。动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。动态规划算法的基本要素：最优子结构性质和重叠子问题。6最优子结构性质：问题的最优解包含着它的子问题的最优解。重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些问题被反复计算多次。动态规划算法对每个子问题只解一次，然后将其解保存起来，以后再遇到同样的问题时就可以直接引用，不必重新求解。7动态规划解决问题的基本特征1.动态规划一般解决最值（最优，最大，最小，最长……）问题；2.动态规划解决的问题一般是离散的，可以分解（划分阶段）的；3.动态规划解决的问题必须包含最优子结构，即可以由（n－1）的最优推导出n的最优8动态规划算法的4个步骤：1.刻画最优解的结构特性.（一维，二维，三维数组）2.递归的定义最优解.（状态转移方程）3.以自底向上的方法来计算最优解.4.从计算得到的解来构造一个最优解.解决问题的基本步骤9例题一.斐波纳契数列F(n)F(n)=1ifn=0or1F(n-1)+F(n-2)ifn1步骤1：用F（n）表示在斐波纳契数列中第n个数的值；步骤2：状态转移方程：步骤3：以自底向上的方法来计算最优解n012345678910F(n)1123581321345589步骤4：在数组中分析构造出问题的解；10例题二.输入n，求出n！F(n)=1ifn=0or1F(n-1)*nifn1步骤1：用F（n）表示n！的值；步骤2：状态转移方程：步骤3：以自底向上的方法来计算最优解n012345678910F(n)11262412072011例题三：排队买票问题一场演唱会即将举行。现有n个歌迷排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1≤i≤n），队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如RjTj+Tj+1，这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间，加快整个售票的进程。现给出n,Tj和Rj，求使每个人都买到票的最短时间和方法。12分析：如果前i个人买票的最优买票方式一确定，比如第i-1个人买一张票，则前i-1个人的买票方式也一定是最优的。即问题的最优解包含子问题的最优解。12345i…in-1nn-2…步骤1：用F（i）表示前i个人买票的最优方式，即所需最短时间；现在要决定F(i)需要考虑两种情况：（1）第i个人的票自己买（2）第i个人的票由第i-1个人买步骤2：状态转移方程：min步骤3：以自底向上的方法来计算最优解1100[]1min{[1],[2]}iiifiTifiTfiR-ì=ïïïï==íïï-+-+ïïî13程序的实现BuyTicks(T,R)1n←length[T]2f[0]←03f[1]←T[1]4fori←2tondo5f[i]←f[i-2]+R[i-1]6iff[i]f[i-1]+T[i]then7f[i]←f[i-1]+T[i]8returnf14例题四：求最长不降子序列1．问题描述设有一个正整数的序列：b1,b2,…，bn，对于下标i1i2…＜im，若有bi1≤bi2≤…≤bim，则称存在一个长度为m的不下降序列。例如，下列数列13791638243718441921226315对于下标i1=1，i2=4，i3=5，i4=9，i5=13，满足13＜16＜38＜44＜63,则存在长度为5的不下降序列。对于下标i1=2，i2=3，i3=4，i4=8，i5＝10，i6=11，i7=12，i8=13，满足：7＜9＜16＜18＜19＜21＜22＜63，则存在长度为8的不下降序列。问题为：当b1,b2,…，bn给出之后，求出最长的不下降序列。步骤1：用F（i）表示第1项到第i项最长不下降序列的长度的值；步骤2：状态转移方程；d[i]表示数列中第i项的值；步骤3：以自底向上的方法来计算最优解F(i)=max{F(j)}+1,ji且d[j]=d[i]F(1)=1F(0)=015拓展1：拦截导弹（vijos1303）某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。样例：INPUTOUTPUT389207155300299170158656（最多能拦截的导弹数）2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）16拓展2：低价购买“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(216范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。这里是某支股票的价格清单：日期123456789101112价格686954646864706778629887最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：日期25610价格69686462输入第1行:N(1=N=5000)，股票发行天数第2行:N个数，是每天的股票价格。输出输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(=231)当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。17拓展3：合唱队形（vijis1098）N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1...TiTi+1…TK(1=i=K)。你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。输入的第一行是一个整数N(2=N=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130=Ti=230)是第i位同学的身高(厘米)。输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。样例输入8186186150200160130197220样例输出：418例题五.马拦过河卒[问题描述]:如图，A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。例如上图C点上的马可以控制9个点（图中的P1，P2…P8和C）。卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点（0，0）、B点（n,m）(n,m为不超过20的整数，并由键盘输入)，同样马的位置坐标是需要给出的（约定:CA，同时CB）。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。[输入]:键盘输入B点的坐标（n,m）以及对方马的坐标（X,Y）{不用盘错}[输出]:屏幕输出一个整数（路径的条数）。[输入输出样例]:输入：6632输出：1719步骤1：用F（X,Y）表示到棋盘上每个阶段(X,Y)的路径条数；步骤2：状态转移方程：步骤3：以自底向上的方法来计算最优解分析：阶段：棋盘上的每个可走的点；每个阶段的求解；F（X,Y）=F(X-1,Y)+F(X,Y-1)其中，F（0,0)=1F(0,Y)=1F(X,0)=120例题六：数字三角形问题1．问题描述设有一个三角形的数塔，顶点结点称为根结点，每个结点有一个整数数值。从顶点出发，可以向左走，也可以向右走。如图10一1所示。问题：当三角形数塔给出之后，找出一条从第一层到达底层的路径，使路径的值最大。若这样的路径存在多条，任意给出一条即可。21步骤1二维数组D(X,y)描述问题，D(X,y)表示从顶层到达第X层第y个位置的最大路径得分。步骤2：状态转移方程阶段分析：D(1,1)=13到第x层的第y个位置有两种可能，要么走右分支得到，要么走左分支得到。D(X,y)＝max{D(X-1,y)，D(X-1,y-1}+a(X,y)D(1,1)＝a(1,1)22拓展：栈（vijos1122）【问题背景】栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。现在可以进行两种操作，1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）2.将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）23使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由123生成序列231的过程。（原始状态如上图所示）12312313222323124你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。【输入格式】输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）【输出格式】输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目【输入样例】3【输出样例】525例题七：最长公共子序列一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。最长公共子序列:公共子序列中长度最长的子序列。最长公共子序列问题给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的一个最长公共子序列。例如:X=(A,B,C,B,D,A,B)X的子序列:所有X的子集(集合中元素按原来在X中的顺序排列)(A,B,D),(B,C,D,B),等等.26例子X=(A,B,C,B,D,A,B)X=(A,B,C,B,D,A,B)Y=(B,D,C,A,B,A)Y=(B,D,C,A,B,A)(B,C,B,A)和(B,D,A,B)都是X和Y的最长公共子序列(长度为4)但是,(B,C,A)就不是X和Y的最长公共子序列27穷举法对于每一个Xm的子序列,验证它是否是Yn的子序列.Xm有2m个子序列每个子序列需要O(n)的时间来验证它是否是Yn的子序列.从Yn的第一个字母开始扫描下去,如果不是则从第二个开始运行时间:O(n2m)2