70预备知识

第七章多元函数的微分及其应用在第一至第六章中，我们讨论了一元函数的性质、极限、连续性、导数、微分、不定积分、定积分以及微积分在几何、物理等领域的某些应用.那里遇到的函数都只有一个自变量，但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将首先介绍多元函数的基本概念、极限、连续等，并在一元函数微分学的基础上，进一步讨论多元函数的微分学，包括多元函数的偏导数、全微分、复合函数和隐函数的求导方法，方向导数、梯度等.进而探讨多元函数微分学的一些应用，例如在研究几何图形和求极值方面的应用等等.在讨论中我们将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的几何解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.§7.0预备知识一、平面点集1．平面及其表示由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x，y)之间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组(x，y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元有序实数组(x，y)的全体，即R2RR{(x，y)|x，yR}就表示坐标平面.2.平面点集定义1坐标平面上具有某种性质P的所有点的集合，称为平面点集，记作E{(x，y)|(x，y)具有性质P}.例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(x，y)|x2y2r2}.如果点P的坐标为(x，y)，以|OP|表示点P到原点O的距离，那么集合C也可表成C{P||OP|r}3.邻域定义2（1）设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点P0(x0，y0)距离小于的点P(x，y)的全体，称为点P0的邻域，记为U(P0，)即00(,){|||}UPPPP或22000(,){(,)|()()}UPxyxxyy（2）点P0的去心邻域记作0(,)UP，其定义为00(,){|0||}UPPPP注（1）:邻域具有直观的几何意义，即U(P0，)表示xOy平面上以点P0(x0，y0)为中心、0为半径的圆的内部的点P(x，y)的全体；0(,)UP与U(P0，)的区别在于前者不包含圆心，而后者包含圆心.（2）：如果不需要强调邻域的半径，则用U(P0)表示点P0的某个邻域，点P0的去心邻域记作0()UP4.内点、外点、边界点为描述点与点集之间的关系，我们给出如下定义定义3任取一点PR2，任给一个点集ER2，则(1)如果存在点P的某一邻域U(P)，使得U(P)E，则称P为E的内点;(2)如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)E则称P为E的外点(3)如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界记作E注意，任给一点和一个集合，它们之间必有以上三种关系中的一种.E的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E.5.聚点、导集定义4如果对于任意给定的0点P的去心邻域(,)UP内总有E中的点则称P是E的聚点.由聚点的定义可知点集E的聚点P可以属于E也可能不属于E.例如设有平面点集E{(xy)|1x2y22}则，满足1x2y22的一切点(xy)都是E的内点满足x2y21的一切点(xy)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(xy)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点.E的全体聚点所构成的集称为E的导集，记为Ed.6．开集、闭集、连通集平面上不同的点集有不同的特征，为此我们可引入如下定义.开集如果点集E的点都是内点，则称E为开集.闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集.例如，E{(x，y)|1x2y22}是开集；E{(x，y)|1x2y22}是闭集；而集合{(x，y)|1x2y22}既不是开集也不是闭集.连通集如果点集E内任何两点都可用完全包含于E内的折线连结起来则称E为连通集.7.开区域、闭区域为下节讨论多元函数时的方便，我们引入区域的概念.开区域连通的开集称为开区域，简称区域.闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E{(x，y)|1x2y22}是区域；而E{(x，y)|1x2y22}是闭区域.8.有界集、无界集有界集对于平面点集E如果存在某一正数r，使得EU(Or)其中O是坐标原点则称E为有界点集.无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集.例如集合{(x，y)|1≤x2y2≤2}是有界闭区域；集合{(x，y)|xy1}是无界开区域集合{(x，y)|xy1}是无界闭区域.二n维空间设n为取定的一个自然数，我们用Rn表示n元有序数组(x1，x2，...，xn)的全体所构成的集合，即RnRRR{(x1，x2，...，xn)|xiR，i1，2，，n}.Rn中的元素(x1，x2，...，xn)有时也用单个字母x来表示，即x(x1，x2，...，xn).当所有的xi(i1，2，，n)都为零时，称这样的元素为Rn中的零元，记为0或O在解析几何中，通过直角坐标，R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应，将其进行推广，Rn中的元素x(x1，x2，...，xn)也可称为Rn中的一个点或一个n维向量，xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地，Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.在集合Rn中定义某种运算，可使Rn成为某种空间.1.n维线性空间定义5设x(x1，x2，...，xn)，y(y1，y2，...，yn)为Rn中任意两个元素，R是一个实数，规定xy(x1y1，x2y2，...，xnyn)，x(x1，x2，...，xn)上述两种运算称为Rn中的线性运算.定义了线性运算的集合Rn称为n维线性空间.2.n维欧式空间定义6Rn中的点x(x1，x2，...，xn)和y(y1，y2，...，yn)之间的距离，记作(x，y)，其定义为2221122(,)()()()nnxyxyxyxy定义了距离的n维线性空间称为n维欧式空间，仍记为Rn.注意，我们在第一部分讨论平面点集时，是直接把平面看成2维欧式空间的，即是说在没有严格定义欧式空间之前我们就把平面作为欧式空间了，实际上我们在中学学习平面几何时早就这样做了.显然，当n1，2，3时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致.因为欧式空间中引入了线性运算和距离，空间中具有代数结构和几何结构，所以我们可以定义向量（或线段）的长度.事实上，Rn中元素x(x1，x2，...，xn)与零元0之间的距离(x，0)即向量x的长度，记作||x||(在R1、R2、R3中，通常将||x||记作|x|)，即22212||||nxxxx采用这一记号，结合向量的线性运算，有2221122||||()()()(,)nnxyxyxyxyxy因为n维空间Rn中定义了距离所以还可以定义Rn中变元的极限.定义7设x(x1，x2，...，xn)a(a1，a2，...，an)Rn.如果||xa||0则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa显然xax1a1，x2a2，...，xnan.在Rn中，线性运算和距离的引入使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)维空间中来例如设a(a1，a2，...，an)Rn是某一正数则n维空间内的点集U(a){x|xRn(xa)}就定义为Rn中点a的邻域.以邻域为基础可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念.问题讨论：1.欧式空间中可以度量向量（线段）夹角的大小和平面图形的面积吗？如果可以，应如何引入？2.点集的聚点和点列的极限点有什么联系？本节介绍了平面上各种点集如邻域、开集、闭集、区域、连通集、有界集、无界集以及一个点对一个点集而言何时为内点、外点、边界点、聚点等概念.然后在集合Rn中引入线性运算和距离，从而使得Rn中可以讨论与平面上类似的概念与问题.习题7.01．下列各种情形中，P为E的什么点？（1）如果存在点P的某一邻域U(P)，使得U(P)Ec（Ec为E的余集）；（2）如果对点P的任意邻域U(P)，都有,,CUPEUPE；（3）如果对点P的任意邻域U(P)，都有}){()(PEPU.2判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1){(xy)|y0}(2){(xy)|6≤x2y220}(3){(xy)|y≤x2}(4){(xy)|x2(y1)21}{(xy)|x2(y2)24}