71-2刚体运动的描述,质心运动定理

上页下页结束返回第七章刚体力学§7.1刚体运动的描述第七章刚体力学§7.1.2刚体绕固定轴的转动§7.1.1刚体的平动§7.1.3角速度矢量§7.1.4刚体的平面运动第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学刚体——是受力时不改变形状和体积的物体.是理想模型.特点(1)物理图像：是一个质点组（刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元.）数学手段－－微积分(2)数学描述：组内任意两点间的距离保持不变.第七章刚体力学第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学§7.1.1刚体的平动Ojririjr平动——刚体运动时,刚体内任一直线恒保持平行的运动.§7.1刚体运动的描述动画演示第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学trtrijddddijvvijaa2222ddddtrtrij,的矢量指向质元表示质元图中jirijijijrrr为恒矢量由平动定义ijr取参考点O结论：刚体平动时,其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹.可用一个质点的运动代替刚体的运动.Ojririjr第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学转动：刚体运动时,其上各质元都绕同一直线作圆周运动.这种运动称转动.该直线称为转轴.若转轴不动，称定轴转动.§7.1.2刚体绕固定轴的转动(1)刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.(2)刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过的角度都相同.因而用角量描述刚体的运动.1.定轴转动特征z第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学2.刚体的定点转动：刚体绕一固定点O的转动，称为定点转动。实际上，在任一瞬时，刚体上都存在一条轴线(瞬时转轴Z）各质点都在垂直于瞬时转轴的平面上作圆周运动。zO与定轴转动不同的是，此瞬时转轴的方位，在空间中不断变化。若能确定出瞬时转轴的方位（三个方位角，，中的两个），接下来就与定轴转动毫无差别了。第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学称角位置或角坐标.规定逆时针转向为正.3.定轴转动的描述(1)角坐标刚体定轴转动的运动学方程(2)角位移为t时间内刚体所转过的角度.=(t)dd与转动方向符合右手螺旋关系元角位移为dt时间内所转过的角度。角位移是矢量：dz第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学(3)角速度tttddΔΔlim0Δ因为无限小角位移是矢量,所以角速度也是矢量.角速度的方向与转动方向符合右手法则：角速度xOP(t)P(t+t)+(4)角加速度tttddΔΔlim0Δ当与同方向时,转动加快,异号时减慢.角加速度ddtddt定轴转动时，只有两个可能的方向，相当于一维运动。,,d第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学2021tt匀变速转动=常量）（02022t0与质点匀变速直线运动公式相对应.ttd)(dttd)(dttt00d)(ttt00d)((5)刚体定轴转动运动方程匀速转动=常量t0何其相似乃尔!第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学(6)角量与线量的关系线量——质点做圆周运动的位移r、速度v、加速度a角量——描述刚体转动整体运动的rsrrva22nratrv注:r的原点必须在转轴上.弧长线速度切向加速度法向加速度，，rsOtexyrrva线量角量第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学角量与线量的矢量关系式为rvrtaddt)(nra)(ddntrrtaaaOPrrvrtaddt)(nra第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学[例1]飞轮的角速度在5s内由900rev/min均匀减到800rev/min。求：(1)角加速度；(2)在此5s内的总转数；(3)再经过几秒飞轮将停止转动。解：srevrevn/15min/9000srevrevn/3.13min/80002()nnttsrad/09.25)153.13(2002nn2第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学220011222ttntt(2)25)09.2(2153.132rad445rev712N(3)02t0022213.34592.09ntsttt4054512第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学oABAvBvr[例3]如图一超音速歼击机在高空A时的水平速率为1940km/h,沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B,其速率为2192km/h,所经历的时间为3s,设圆弧的半径约为3.5km,且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动,若不计重力加速度的影响,求:(1)飞机在点B的加速度;(2)飞机由点A到点B所经历的路程.atana解（1）因飞机作匀变速率运动所以和为常量.tataddtv分离变量有t0taddtBAvvv第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学oABAvBvratana2tsm3.23taABvv1hkm1940Av1hkm2192Bvs3tkm5.3AB已知：在点B的法向加速度22nsm106raBv在点B的加速度22n2tsm109aaatnarctan12.4aa与法向之间夹角为atta0tddBAvvv第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学（2）在时间内矢径所转过的角度为tr212Att飞机经过的路程为2t21tatrsAv代入数据得m1722soABAvBvratana第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学§7.1.4刚体的平面运动刚体的平面运动——刚体内所有的点都平行于某一平面而运动.如车轮滚动等.动画演示第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学1.刚体的平面运动特点：(1)每一质元轨迹都是一条平面曲线，质心始终落在一个平面上.(3)垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都相同.(2)转轴总是保持平行，并与固定平面垂直.(4)可用与固定平面平行的平面来代表刚体.第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学2.平面运动的方程BBrrAOxyxy第七章刚体力学点的位矢点相对是BAr平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量rrrB上页下页结束返回第七章刚体力学3.平面运动的刚体上任意一点的速度vvtrtrtrvBBdddddd刚体绕过基点的角速度rvrvvB第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学4.无滑滚动(纯滚动)条件(1)有滑动滚动和无滑动滚动有滑滚动——接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大).无滑滚动——接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够大)也称纯滚动.无滑滚动条件:czvrcarrvvc当边缘上一点P与支承面接触的瞬时，0v[证]以圆柱体中心轴线上一点C为基点,则边缘上一点cvr0rvc第七章刚体力学ω.c上页下页结束返回第七章刚体力学AxyOCrcvvrcvvrcvP实际上,当柱体绕中心转动,其中心轴前进的距离rycrvcracrryC2r微分第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学§7.2刚体的动量和质心运动定理§7.2.1刚体的质心§7.2.2刚体的动量和质心运动定理第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学§7.2.1刚体的质心在O-xyz坐标中，质点系的质心坐标为iiicmxmxiiicmymyiiicmzmz对质量连续分布的刚体,VVcmmxxddVVcmmyyddVVcmmzzdd刚体是特殊质点系，上述各式同样适用于刚体.第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学VVcVVxxdd引入体密度VVcVVyyddVVcVVzzdd均质物体VVxxVcdVVyyVcdVVzzVcd第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学[例题1]求质量均匀，半径为R的半球的质心位置.[解]设半球的密度为，将半球分割成许多厚为dx的圆片，任取其一xxRxyVd)(πdπd222R833/2πd)(π3022RxxRxR33π32π3421RRVVVxxVcd由对称性得0cczyxROyzyxxd第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学[例题2]在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为R/2的小圆板,大小圆板相切,如图所示.求余下部分的质心.xyO[解]由对称性，yc=0余下部分0cx21π41Rm2/1Rxc22π43Rm2222ππ432π410RxRRRc62Rxc2πRm设平板面密度为,大圆板小圆板第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学§7.2.2刚体的动量和质心运动定理刚体动量cvmp质心运动定律iF质心加速度刚体的总质量刚体所受的外力矢量和对刚体上的每个质元应用牛顿第二定律：22dtrdmamFiiiiFi为第i个质元所受的合外力。上式对i求和并注意区分内力和外力：22ddtrmfFiiii)(ddd)(d2222iiiirmttrm)(22Crmdtd0CCamvmdtd)(第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学[练习1]如图所示，半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其顶部有一质量为m的小滑块，从静止开始沿球面下滑。试求：小滑块脱离球面之前的轨迹。O'yxyxsMmRO由0CCxx得：msxM根据222()sxyR可得22221()xyMRRmM00Cx解：()CmxMsxmM第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学[例1]质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFacf解：设静摩擦力f的方向如图，则由质心运动方程CmafF圆柱对质心的转动定律CIRflF纯滚动条件为RaC又221mRICmRlRFaC3)(2FRlRf32求出当R2l时，f0,向后；当R2l时，f0,向前。上页下页结束返回第七章刚体力学mmLLABC[例2]如图，长为2L，质量可忽略的杆的两端固定有两质量均为m的小球A、B。开始时系统竖直放在光滑的水平桌面上。系统受外界微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与水平面夹角为时，A、B两球的速度。第七章刚体力学上页下页结束返回第七章刚体力学mBLLmmCvBvCv'v'vCA解：221122(2)2sin22CmgLmvmvmgLBCvvv222(1sin)1cos2(1sin)cos1cosCglvglvcosCvvAACvvvsin(cos)Cvivvj22(1sin)(sin2cos)1cosglij22(1sin)sinsin1cosBglvvi第七章刚体力学