73齐次方程74一阶线性

齐次方程机动目录上页下页返回结束第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第七章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束例2例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束可划为齐次的方程(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),机动目录上页下页返回结束情形2求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程)0(212cc)0(b机动目录上页下页返回结束例4例4.求解解:04kh因此,,51yYxXYXYXXYdd得再令Y＝Xu,令06kh5,1kh得机动目录上页下页返回结束令即XYXYdXdY11dXduXudXdY续得整理得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln机动目录上页下页返回结束XYXYdXdY11dXduXudXdY再令Y＝Xu,uudXduXu11uuuudXduX111)(即XdXuududu22211211)(----------------------------------------------------------------------------------------------------------续15arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为第四节目录上页下页返回结束||ln)ln(arctanCXuu2121XYu15xy代回原变量,得原方程的通解:----------------------------------------------------------------------------------------------------------思考思考:若方程改为如何求解?解第四节目录上页下页返回结束dxdydxdv1641vvdxdv612vvdxdv)(dxdvv2151)(Cxvv215||lnCxyyx||ln15dxdvvv216得即因此即两边积分得代入原变量P306例2一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第七章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次线性方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次线性方程;机动目录上页下页返回结束非齐次方程对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动目录上页下页返回结束P311例2P311例1.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu23)1(32故原方程通解为机动目录上页下页返回结束公式求解P311例1.解方程解:CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,12)(xxP2/5)1()(xxQCdxexedxxdxx)12(2/5)12()1(Cdxexexx|1|ln22/5|1|ln2)1(Cdxxxx22/52)1(1)1()1(Cdxxx2/12)1()1(Cxx2/32)1(32)1(例2例2.求方程的通解.解:注意x,y同号,,d2d,0xxxx时当yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式,得exey1故方程可变形为0d2d3yyxyyxxy1lndCy所求通解为)0(CCeyyx这是以x为因变量,y为自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束伯努力方程二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利目录上页下页返回结束P314例4P314例4.求方程的通解.解:令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1CxdCxax22)ln(代入,得原方程通解:机动目录上页下页返回结束xayxdxdyyln1112Cdxxxaex1ln)(ln内容小结内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程22yxxyxxylndd伯努利方程机动目录上页下页返回结束备用题备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos)(xexxxf21机动目录上页下页返回结束Cdxexexfdxdxcos)(备用题22.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2x1,0x试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题10,2xyy00xy利用通解公式,得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00xy得21C故有)10(22xeyx机动目录上页下页返回结束续2)再解定解问题1,0xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为)1(2xeCyx利用衔接条件得)1(22eC因此有)1()1(2xeeyx3)原问题的解为y10),1(2xex1,)1(2xeex机动目录上页下页返回结束电路例