76多元函数微分学的几何应用.

高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系第七章多元函数的微分及其应用§7.6多元函数微分学的几何应用曲线和曲面是空间中常见的几何图形，在第6章中的空间解析几何部分，我们用代数方法对空间的曲线和曲面及其性质和形状进行了研究，现在我们学习了多元函数微分学，能否应用多元函数微分学这个工具，更深刻地揭示空间曲线和曲面在一点邻近的性态呢？本节我们就来探讨这些问题.一.空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x(t)，y(t)，z(t)t[,]这里假定(t),(t),(t)都在[,]上可导在曲线上任取一点M0(x0，y0，z0)（对应于参数tt0）及其邻近点M(x0+x，y0+y，z0+z)（对应于参数tt0t）.作曲线的割线MM0，其方程为000xxyyzzxyz（1）当点M沿着趋于点M0时，割线MM0的极限位置被定义为曲线在点M0处的切线.由式（1）可得000xxyyzzxyzttt令MM0（即上式中t0），得曲线在点M0处的切线方程为000000()()()xxyyzzttt曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.向量T((t0)，(t0)，(t0))就是曲线在点M0处的一个切向量.法平面通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面.法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0.例1求曲线：30cos,2sincos,1tutxeuduyttze，在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，0,x1,y2,z又cos,txet2cossin,ytt33tze所以(0)1,x(0)2,y(0)3,z从而切线方程为012,123xyz法平面方程为2(1)3(2)0,xyz即2380.xyz通过例子说明当空间曲线的方程为一般方程，即F(xyz)0，G(xyz)0时曲线上一点的切线和法平面方程的求法例2求曲线22221010xzyz在点(1,1,3)处的切线及法平面方程.解设22(,,)10,Fxyzxz22(,,)10,Gxyzyz则2,xFx0,yF0,xG2,yGy2,zGz切向量的三个分量依次为(1,1,3)yzyzFFGG(1,1,3)0222zyz12,(1,1,3)zxzxFFGG(1,1,3)2220zxz12,所以可取切向量为（3，3，-1）（为什么这样取？直接取（-12，-12，4）可以吗？）故所求的切线方程为113.331xyz法平面方程为3(1)3(1)(3)0,xyz即333.xyz(1,1,3)xyxyFFGG(1,1,3)2002xy4.例3求曲线2226,0xyzxyz在点(1,2,1)处的切线及法平面方程解1类似于例2，直接利用公式；解2将所给方程组的两边对x求导并移项.得1dydzyzxdxdxdydzdxdxdyzxdxyzdzxydxyz(1,2,1)(1,2,1)0,1dydxdzdx由此得切向量)1,0,1(),,1(dxdzdxdyT所求切线方程为121,101xyz法平面方程为(1)0(2)(1)0,xyz即0.xz例4求曲线23,yxzx上的点，使在该点的切线平行于已知平面24.xyz解设所求切点为000(,,),xyz则曲线在该点的切线向量为200{1,2,3},sxx由于切线平行于已知平面42zyx，因而s垂直于已知平面的法线向量{1,2,1},n故有sn20011(2)231xx0,解得01x或1,3将它代入曲线方程.求得切点为1(1,1,1)M2111,,.3927M二.曲面的切平面与法线设曲面的方程为F(x,y,z)0M0(x0y0z0)是曲面上的一点，并设函数F(x，y，z)的偏导数在该点连续且不同时为零.在曲面上，通过点M0任意引一条曲线，假定曲线的参数方程式为x(t)，y(t)，z(t)，tt0对应于点M0(x0y0z0)且(t0)，(t0)，(t0)不全为零，则曲线在该点的切向量为T((t0)(t0)(t0)).考虑曲面方程F(x，y，z)0两端在tt0的全导数0ttdtdF=Fx(x0y0z0)(t0)Fy(x0y0z0)(t0)Fz(x0y0z0)(t0)0记向量n(Fx(x0y0z0)，Fy(x0y0z0)，Fz(x0y0z0))易见T与n相互垂直.因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线，它们在点M0的切线都与同一向量n垂直，所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面在点M0的切平面，这切平面的方程是Fx(x0y0z0)(xx0)Fy(x0y0z0)(yy0)Fz(x0y0z0)(zz0)0.曲面的法线通过点M0(x0y0z0)且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线，法线方程为000000000000(,,)(,,)(,,)xyzxxyyzzFxyzFxyzFxyz曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.n(Fx(x0y0z0)，Fy(x0y0z0)，Fz(x0y0z0))就是曲面在点M0处的一个法向量.n(Fx(x0y0z0)，Fy(x0y0z0)，Fz(x0y0z0))T((t0)(t0)(t0))例5求球面x2y2z214在点(1，2，3)处的切平面及法线方程式.解F(x，y，z)x2y2z214Fx2x，Fy2y，Fz2zFx(1，2，3)2，Fy(1，2，3)4，Fz(1，2，3)6.法向量为n(2，4，6)或n(1，2，3).于是所求切平面方程为2(x1)4(y2)6(z3)0即x2y3z140.法线方程为123123xyz例6求旋转抛物面221zxy在点(2,1,4)处的切平面及法线方程解令(,,)Fxyz221xyz(2,1,4)n(2,1,4){2,2,1}xy{4,2,1},故切平面方程为4(2)2(1)(4)0,xyz即4260,xyz法线方程为214.421xyz例7求曲面23zzexy在点(1,2,0)处的切平面及法线方程.解令(,,)Fxyz23,zzexy2,xFy2,yFx1zzFe(1,2,0)n(1,2,0){2,2,1}zyxe{4,2,0},切平面方程为4(1)2(2)0(0)0,xyz即240,xy法线方程为120.210xyz例8求曲面2222321xyz平行于平面460xyz的各切平面方程.解设000(,,)xyz为曲面上的切点，则切平面方程为0000002()4()6()0,xxxyyyzzz依题意，该切平面平行于已知平面，所以有000246146xyz，即0002.xyz000(,,)xyz是曲面上的切点，所以满足曲面方程，代入2222321xyz，得01,x故所求切点为(1,2,2),(1,2,2),故平行于已知平面的切平面方程为2(1)8(2)12(2)0,xyz即4621;xyz2(1)8(2)12(2)0,xyz即4621.xyz例9求曲面22230xyzxy上同时垂直于平面0z与10xy的切平面方程.解设(,,)Fxyz2223,xyzxy则2,xFxy2,yFyx2,zFz曲面在点000(,,)xyz的法线向量为00000(2)(2)2.nxyiyxjzk由于平面0z的法线向量1,nk平面1xy0的法线向量2,nij而n同时垂直于1n与2,n所以n平行于12,nn而12nn001110ijk,ij所以存在实数,使得00000{2,2,2}{1,1,0},xyyxz即002,xy002,yx020,z解之得00,xy00,z将其代入原曲面方程，求得切点为1(1,1,0)M和2(1,1,0),M因而，所求的切平面方程为:(1)(1)0,xy即20,xy(1)(1)0,xy即20.xy问题讨论：1.若曲线的方程为y(x)z(x)问其切线和法平面方程是什么形式，若曲线的方程为F(xyz)0G(xyz)0.问其切线和法平面方程又是什么形式？2.若曲面方程为zf(x，y)，问曲面的切平面及法线方程式是什么形式？又若空间曲面以如下参数方程的形式给出x=x(u，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v)(u，v)D你能推导出该曲面上一点的切平面和法线方程吗？本节对以参数方程表示的空间曲线给出了其上一点的切线和法平面方程，对以一般方程表示的空间曲面给出了其上一点的切平面和法线方程，而对用其它形式的方程来表示的曲线和曲面我们只给出了一些具体的例子，其一般形式则作为问题交给读者去讨论.习题7.61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2xt，1yt，3zt在(1,0,1)处；（2）1txt，1tyt，2zt在1t的对应点处；（3）sinxtt，1cosyt，4sin2tz在点1,1,222处；（4）2222100,100,xyyz在点(1,1,3)处.2.在曲线xt，2yt，3zt上求一点，使此点的切线平行于平面24xyz.*3.求曲线y22mx，z2mx在点(x0，y0，z0)处的切线及法平面方程.*4.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1，1，1)处的切线及法平面方程.5.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327xyz在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)zxy在点(1,1,ln4)处；（3）arctanyzx在点1,1,4处.6.求曲面2222321xyz上平行于平面460xyz的切平面方程.7.证明：曲面(,)0Fxazybz上任意点处的切平面与直线xyzab平行（其中a，b为常数，函数(,)Fuv可微）.8.求旋转椭球面222316xyz上点(1,2,3)处的切平面与xOy面的夹角的余弦.9.证明曲面3xyza（0a，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.