76高阶线性77常系数齐次

机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程第六节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第七章n阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.,)()()(xfyxqyxpy)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf机动目录上页下页返回结束齐次线性方程解的结构])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕一、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则P325定理1.机动目录上页下页返回结束说明说明(P326):不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束线性相关定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数机动目录上页下页返回结束定理2P326定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为P327推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y机动目录上页下页返回结束非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,P327定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①复习目录上页下页返回结束证明续)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解(第7节讲)因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理4P328定理4.分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束定理5定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束例3常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例3.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)机动目录上页下页返回结束例4例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三机动目录上页下页返回结束常数变异法*三、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCyxxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy代入原方程确定).(xu对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设③的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv③))(),((21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④)(xu机动目录上页下页返回结束续2211vyvyy2211vyvy⑤,,21vvy中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy将以上结果代入方程③:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy得)(2211xfvyvy⑥故⑤,⑥的系数行列式02121yyyyW,,21线性无关因yyP10目录上页下页返回结束)()()(xfyxQyxPy续fyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入④即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得说明:将③的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.机动目录上页下页返回结束02211vyvy)(2211xfvyvy)()()()(xvxyxvxyy2211⑤⑥)()()(xfyxQyxPy③情形2情形2(P330).).(1xy仅知③的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy令代入③化简得uyPyuy)2(111uyQyPy)(111fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入③目录上页下页返回结束)()()(xfyxQyxPy③P329例3P329例3.02211vyvy0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY的通解.解:将所给方程化为:1111xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用⑤,⑥建立方程组:021vevxx121xvevx,,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx⑤,⑥目录上页下页返回结束)(2211xfvyvy物理例常系数机动目录上页下页返回结束第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章二阶常系数齐次线性微分方程:xrey和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2xreqprr02qrpr称②为微分方程①的特征方程,1.当042qp时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束情形22.当042qp时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:[1xre)(1urup0uq)2(211ururu是特征方程的重根0u取u=x,则得,12xrexy因此原方程的通解为xrexCCy1)(210)()2(1211uqrprupru机动目录上页下页返回结束情形33.当042qp时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动目录上页下页返回结束小结小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束推广若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar推广:机动目录上页下页返回结束P335例1P335例1032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为P335例2求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C机动目录上页下页返回结束P336例7P339例6的通解.解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例.0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),,,,132xexxx推广目录上页下页返回结束P339例702)(22222rrP339例7.)0(0dd444wxw解方程解:特征方程:即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC机动目录上页下页返回结束例例.02)4(yyy解方程解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxreCeCy212121rr(2)当时,通解为xrexCCy1)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(21xCxCeyxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习求方程的通解.答案::0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21第九节目录上页下页返回结束备用题备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方