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1§7几何变换板块教学目标A级目标B级目标C级目标平移了解图形平移，理解平移中对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等的性质能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离能运用平移的知识解决简单的计算问题；能运用平移的知识进行图案设计轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质能运用轴对称进行图案设计旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角．能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计．比例及定理熟知定理内容掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题会运用定理及其推论的内容来解决相似的问题相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题教学目标2一、几何变换1、几何变换几何变换是一类重要的解题方法，通过几何变换可以把图形变得更对称、更美观、更便于处理；通过几何变换可以将互不相邻的元素集中到一起，使我们能够更有效地利用条件；通过几何变换还可以自然地利用图形本身的对称性，有意无意地将我们平时注意不到的条件运用到解题中．几何变换可以分为以下几类：1．平移：即保持点沿同一方向移动相同距离，且保持线段平行的变换．平移的性质有：保持角度不变，保持几何图形全等．2．轴对称：将图形沿直线翻折．轴对称的性质有：对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段的交点在对称轴上，保持几何图形全等．3．中心对称：将图形关于一个点对称．中心对称的性质有：对应点的连线的中点永远是对称中心，保持几何图形全等．4．旋转：即将平面图形绕一个定点旋转一个角度．旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等，对应直线的夹角等于旋转角，保持几何图形全等．5．位似：将图形关于一个点作放大或缩小变换．初中几何暂时不涉及这部分内容．2、平移变换1．平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注：⑴平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．⑵图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．⑶图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，对应线段平行且相等，对应角相等．平移变换前后的图形具有如下性质：⑴对应线段平行(或共线)且相等；⑵对应角的两边分别平行且方向一致；⑶对应的图形是全等形．注：⑴要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．⑵“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．3．简单的平移作图想一想：⑴生活中的图形是由什么构成的？结论：点、线、面学习内容知识梳理3⑵我们知道线可以看作是由许多点构成的，给出一条线段和它平移后的一个端点的位置，你能否作出它平移后的图形呢？结论：在进行平移作图时，要知道平移的距离和方向，利用平移的相关性质(如：平移不改变图形的大小和形状等)作图，要找出图形的关键点．⑶平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．４．平移变换的方法应用⑴平移变换时通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移动到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来．⑵平移法在应用时有三种情况：①平移条件：把条件中的某条线段或角平移；②平移结论：把结论中的线段或角平移；③同时平移条件或结论：是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移．5．平移变换的主要功能：把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本图形之中，而产生进一步的更加深入的结果，这种思想我们称之为“集散思想”．或者通过平移产生新的图形，而使问题得以转化．应用平移变换可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置．也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到相关几何元素相对集中、使元素之间的关系明朗化的目的．因为应用平移变换可以把角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置，也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，因此，当条件中有平行四边形、中点、中位线等情形时，常常可以作平移变换以集中条件、解决问题．3、翻折变换轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如下图，ABC是轴对称图形.两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，ABC与'''ABC关于直线l对称，l叫做对称轴.A和'A,B和'B，C和'C是对称点.轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.4线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PAPB.线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.成轴对称的两个图形的主要性质：①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：（1）图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；（2）图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．4、旋转有关概念旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点'P，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图)注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角．⑵每一组对应点所构成的旋转角相等．旋转的性质：①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)旋转作图的基本步骤：由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件：P'Q'QPO5⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度．具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心．转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点．连：即连接所得到的各点．5、中心对称中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图)注意：⑴两个图形成中心对称是旋转角为定角(180)的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系．⑵中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系．中心对称的特征：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等．如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．(如图⑶)中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形．若把中心对称图形的两个部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形．关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，他们坐标符号相反，反过来，只要两个点的坐标符号相反，则两个点关于原点对称．中心对称图形与旋转对称图形的比较：名称定义区别联系旋转对称图形如果一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于周角)后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形旋转角度不一定是180旋转对称图形只有旋转180才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形DCBAODCBAO6中心对称图形如果一个图形绕某一点旋转180后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形必须旋转180中心对称图形与轴对称图形比较：名称定义基本图形区别举例中心对称图形如果一个图形绕着某点旋转180后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形绕某一点旋转180线段、平行四边形、矩形、菱形、圆轴对称图形如果一个图形沿某一条直线翻折180后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这样的图形叫做轴对称图形沿某一条直线翻折180(对折)线段、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆二、相似1、比例线段板块一比例的性质1．,acadbcbd这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2．acbdbdac(反比定理);3．acabbdcd(或dcba)(更比定理);4．acabcdbdbd(合比定理);5．acabcdbdbd(分比定理);6．acabcdbdabcd(合分比定理);7．(0)acmacmabdnbdnbdnb(等比定理).板块二成比例线段1．比例线段180°7对于四条线段abcd，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如acbd（即::abcd），那么这四条线段abcd，，，叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的项在比例式acbd（::abcd）中，ad，称为比例外项，bc，称为比例内项，d叫做abc，，的第四比例项．三条线段abbc（::abbc）中，b叫做a和c的比例中项．3．黄金分割如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即2ACABBC）则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中510.6182ACABAB，350.3822BCABAB，AC与AB的比叫做黄金比．板块三平行线分线段成比例定理1