7回归正交设计

A(果肉加水量)B(加酶量)C(温度)D(时间)1111102122217313332442123125223147623122873132183213189332142K141134689K287827146K361947254k113.74.315.329.7k229.027.323.715.3k320.331.324.018.0极差R15.327.08.714.3主次顺序优水平A2B3C3D1优组合BADCA2B3C3D1试验号因素液化率％表试验结果分析Y与A、B、C、D各因素之间的相互关系？DCBAZZZZYDCBAZbZbZbZbbY43210ˆ能够利用较少的处理安排较多的试验因素，以获得较佳的试验结果。正交设计优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案。可通过所建立的回归方程，对试验结果进行预测和优化。回归分析盲目增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。回归正交设计不能在一定的试验范围内根据数据样本去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不能提出任何要求。回归正交设计将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑，产生于20世纪50年代初。回归正交设计兼容了正交试验设计与回归分析的优点。回归正交设计(Orthogonalregressiondesign)可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立回归方程，能解决试验优化问题不适合有非数量性因素的问题。一次回归正交设计试验研究的变量与各自变量之间呈线性关系时一次回归正交设计一次回归正交设计（Orthogonaldesignbylinearregression）：是利用回归正交设计原理建立依变量y关于m个自变量Z1、Z2、…、Zm的一次回归方程。mmZbZbZbbY22110ˆjijiijjmjjZZbZbbY10ˆ一次回归正交设计二、步骤1234确定试验因素及其下水平和上水平因素水平进行编码选择适当的正交表，列出编码因素的试验方案建立回归方程一次回归正交设计1.确定试验因素及其下水平和上水平YZ1Z2Zj…Zm…Z2jZ1j下限（下水平）上限（上水平）221jjojZZZ212jjjZZ因子Zj的零水平因子Zj的变化区间一次回归正交设计2.因素水平进行编码编码变换，就是对各因素每个水平的取值作无量纲的线性变换。ajx水平因子Zj编码因子xj下水平Z1j零水平Z0j上水平Z2j编码因子ajZ-110),...,2,1;2,1,0(0mjaZZxjjajajZZ2jZ0jZ1j+10-1xmmxbxbxbbY22110ˆjijiijjmjjxxbxbbY10ˆ一次回归正交设计二、步骤1234确定试验因素及其下水平和上水平因素水平进行编码选择适当的正交表，列出编码因素的试验方案建立回归方程3个因素)2(78L表1三因素一次回归正交设计与实施方案Z13Z12Z11-1-1-18Z23Z12Z111-1-17Z13Z22Z11-11-16Z23Z22Z1111-15Z13Z12Z21-1-114Z23Z12Z211-113Z13Z22Z21-1112Z23Z22Z211111Z3Z2Z1X3X2X1实施方案试验设计处理号均衡分散整齐可比试验号12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112表1三因素一次回归正交设计与实施方案处理号试验设计实施方案YX1X2X3Z1Z2Z31111Z21Z22Z23y1211-1Z21Z12Z13y231-11Z21Z12Z23y341-1-1Z21Z22Z13y45-111Z11Z22Z23y56-11-1Z11Z22Z13y67-1-11Z11Z12Z23y78-1-1-1Z11Z12Z13y8(1)数字1和-1既表示因子的两个水平，又同时表示每个水平变化的数量大小。例如，1既表示因子的上水平也表示该上水平的取值是1，-1既表示因子的下水平也表示该下水平的取值是-1。(2)正交表的正交性具体表现为每列中数字的和等于零；任意两列对应数字乘积和等于零；每列中数字平方的和等于正交表的行数。一次回归正交设计二、步骤1234确定试验因素及其下水平和上水平因素水平进行编码选择适当的正交表，列出编码因素的试验方案建立回归方程表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8BjB0B1B2B3B12B13B23dj8888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q23表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8BjB0B1B2B3B12B13B23dj8888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q23iniijjyxB1表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8BjB0B1B2B3B12B13B23dj8888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q23niijjxd12表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8BjB0B1B2B3B12B13B23dj8888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q23jjjdBb表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8BjB0B1B2B3B12B13B23dj8888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q23jjjjdBSSQ2iniijjyxB1niijjxd12jjjdBbjjjjdBSSQ2表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8BjB0B1B2B3B12B13B23dj8888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q233223311321123322110xxbxxbxxbxbxbxbbyiniijjyxB1niijjxd12jjjdBbjjjjdBSSQ2表3三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y8B0B1B2B3B12B13B238888888b0b1b2b3b12b13b23-Q1Q2Q3Q12Q13Q23(2)回归方程及偏回归系数的显著性检验nxdajj222jjjjinbnBBbQ22ijijijijijnbnBBbQ1ijidfdf在一次回归正交设计下，因素项回归平方和互作项回归平方和因素项与互作项自由度在一次回归正交设计下，由于偏回归系数两两相互独立，回归平方和等于各偏回归平方和之和回归自由度为各偏回归自由度之和ijmjjRQQSS12)1(2)1(1mmmmmdfdfdfijmjjR剩余（误差）平方和剩余（误差）自由度RyeSSSSSS2)1()1(mmndfdfdfRyenBynyySSy20222)(1ndfyeeRReRRdfSSdfSSMSMSF(2)回归方程及偏回归系数的显著性检验ejejjMSQMSMSFeijeijijMSQMSMSF由上面的计算可知，各项偏回归平方和分别与或的平方成正比。这说明在由回归正交设计所求得的回归方程中，偏回归系数绝对值的大小表示了对应变量（因素或互作）作用的大小，其符号反映了这种作用的性质。ibijb22jjjjinbnBBbQ22ijijijijijnbnBBbQ在检验过程中，若某些因素或互作项的偏回归系数不显著，则这些因素或互作项可以从回归方程中剔除，此时不影响其它回归系数的数值。将被剔除项的偏回归平方和、自由度并入剩余平方和和与自由度，然后再次进行相关的分析计算。上述回归方程的检验，只相对于剩余平方和而言，变量部分的影响是否显著。即使检验结果是显著的，也就是一次回归方程在试验点上与试验结果拟合得很好，也不能保证在被研究的整个回归区域内拟合得很好，即不能保证采用一次回归模型是最好的。为了分析经F检验结果为显著的一次回归方程在被研究区域内的拟合情况，可通过在零水平试验点所安排的重复试验值估计真正的试验误差，进而检验所建立的回归方程的失拟性（亦称为拟合度检验）。零水平试验点一般重复2-6次。表5三因素一次正交回归设计（零水平试验点重复3次）与试验结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y891000000y9101000000y10111000000y11(3)失拟性检验表5三因素一次正交回归设计（零水平试验点重复3次）与试验结果计算表处理号X0X1X2X3X1X2X1X3X2X3y11111111y12111-11-1-1y2311-11-11-1y3411-1-1-1-11y451-111-1-11y561-11-1-11-1y671-1-111-1-1y781-1-1-1111y891000000y9101000000y10111000000y11BiB0B1B2B3B12B13B23di11888888bjb0b1b2b3b12b13b23Qj-Q1Q2Q3Q12Q13Q23设在零水平试验点安排了m0次重复试验，试验指标的观测值分别为y01，y02,…，y0m0，利用这m0个重复值计算纯误差平方和及相应的自由度:020202100)()(0myyyySSiimiiel