7刚体定轴转动.

1基本方法：质点系运动定理加刚体特性刚体定轴转动的动能定理角动量定理平动：动量定理camF可以解决刚体的一般运动（平动加转动）§7刚体的定轴转动问题：什么是刚体？它是否可以看成质点系？27-1刚体的定轴转动特征1.各点运动的特点转动平面)(或在自己的转动平面内作圆周运动z2.描述的物理量任一质点圆周运动的线量和角量的关系rrarartn2减速加速简化3解决刚体动力学问题的一般方法原则:质点系的三个定理利用刚体的特征化简到方便形式(简便好记)(1)刚体的平动质点模型运用质心运动定律(2)刚体的定轴转动利用刚体的模型(无形变)：特殊质点系化简角动量定理功能原理方便的形式43转动动能设定轴转动刚体上第个质元的质量为，速率为，则该质元的动能为iimiv221iikivmE把上式对所有质元求和，就得到刚体的转动动能212kiiiEmr把定义为刚体对轴的转动惯量，用表示，即2iiimrJiirv因为2212kiiiEmr所以iiivmJ2221JEk转动动能54转动惯量1.定义22iiimJmrJrdm1m2m3m1r2r3r321iiiiJmr补例1：如图质点系，计算转动惯量233222211rmrmrm说明：有的教材上用I表示转动惯量6转动惯量的计算1)按定义式计算2)对称的简单的查表2－2（page70）3)平行轴定理parallelaxistheorem2ocIImdmcod在一系列的平行轴中，通过质心的轴的转动惯量最小7例7-1求质量为m，长为l的匀质细棒对下列给定转轴的转动惯量。(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒的一端并与棒垂直。解：Xlxdxo(1)将细棒分成无穷多小段，取一小段dx，该小段对中心轴的转动惯量dIc=x2dm各段对中心轴的转动惯量求和dmxIdIcc28dmxIdIcc2代入上式dxlmdm22232221213mlxlmdxlmxIllllc(2)转轴在端点时，利用平行轴定理代入22ldmdIIc.31)21(121222mlmmlIXlxdxo23200133llmmIxdxxmlll方法二9例7-2求质量为m，半径为R的圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量，设质量在盘上均匀分布。dJ=r2dmRrdr解:将圆盘分成无穷多个大大小小的窄圆环，取其中一个半径为r，宽度为dr的圆环，该圆环对中心轴的转动惯量10dm而整个圆盘对中心轴的转动惯量JdJrdrRm2222drRmrRdrrRm0322221mRRrdrdJ=r2dm11I的大小和转轴有关、和刚体形状及刚体质量有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的o´oml13J=o´oml1122J=o´omr122J=o´omr142J=平行轴12JLω5角动量刚体的转动惯量J与角速度的乘积定义为刚体的角动量，实为刚体这个特殊质点系所有质点角动量的和，用L表示，则有角动量是一个矢量L，其方向在转轴方向，与角速度方向相同，即沿转轴方向。13zimiriiiiLrm因为各质元角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加iiLLiiiimr2()iiiLmr如图任一质量元的角动量大小为iir因为所以试证明：LJ2iiiJmr刚体对定轴的转动惯量LJ所以（证毕）141刚体定轴转动的转动定律(质点系角动量定理微分形式的简化)质点系角动量定理微分形式：tLMdd1.利用zMMkzLLkzzLdMJJtdtddzimiri所以，可直接写分量式7-2刚体定轴转动规律LJ152.刚体定轴转动的转动定律irimzLMJamF定轴转动定律在转动问题中的地位，相当于平动时的牛顿第二定律，理解好，默写好，运用好该规律应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。对比牛顿第二定律说说：转动定律的文字表述依据转动定律，转动惯量的物理意义：J表示了刚体的转动惯性，J大转动惯性大。/MJ16补例2质量为m1，m2（设m1m2）的两物体，通过一定滑轮用绳相连，已知绳与滑轮间无相对滑动。定滑轮是半径为R、r，转动惯量为I,忽略轴的摩擦。求：(1)m1、m2的加速度；(2)滑轮的角加速度及绳中的张力。RoMm2aT2m2gm1T1m1gT1rT21a2a再次强调：物理问题能画图的都要画图，画图有利于解决问题。17解：对物体进行受力分析，画受力图，定滑轮为转动，m1、m2为平动22221111amgmTamTgm12TRTrIRa1ra2RoMm2aT2m2gm1T1m1gT1rT21a2a18解得2122211122()()()mRmrgImRmrTmgrTmgR解题方法：画力图，辨运动，物体平动用牛顿第二定律列方程,物体转动用转动定律列方程19例7-3图7-8（a）表示的是匀质圆盘制成的滑轮（质量、半径）经缠绕的轻绳在常力F的作用下发生转动，图7-8（b）表示同样的定滑轮经缠绕的轻绳在质量为的砝码的重力作用下发生转动，不计摩擦，计算两种情况下定滑轮的角加速度。mR0Fmg0m解：图（a）定滑轮在常力矩作用下的定轴转动问题。力矩FRM根据转动定律1FRJ012mgFRJmR解得20图（b）选重力的方向为坐标轴的正方向，设绳的张力大小为，将滑轮与砝码隔离成两部分，有方程组FTTT0Fmg0022122,mgTmaTRJaRJmR求解得到020/2mgmRmR二者尽管作用力大小一样，但明显，其原因是砝码也参与了有效加速转动，分去了部分力矩。12212刚体定轴转动的动能定理22222211112222KiiiiiiiiiiEmmrmrJ化简用转动惯量表达刚体定轴转动的动能KEAAΔ内外依质点系动能定理cossinAdFrdFrdFlsinMFrMdMdtMddtdAP外力矩的功率22这样，得到刚体定轴转动的动能定理形式00MdAA内重力场中,机械能守恒定律系统--刚体+地球212cEmghI力矩的功就是力的功，由于刚体内部无相对运动，内力不做功，有22211122211122dAMdJdJdJJdt233刚体定轴转动的角动量守恒定律角动量定理(积分形式)1221LLLtMttΔd一般的质点系210ttMdtJJ一个刚体角动量守恒定律0const.vectorML00iiiiJJ由多个刚体组成的刚体体系24例7-4图7-9表示的是质量为长度为的可绕水平轴点自由转动的细棒，初始位置为水平位置，求其自由释放后转动至角处时细棒的角加速度和角速度。mLO解：棒在任意角时，棒上质元到的重力的大小为，相应的力矩的大小为drdfdrLmgdrrLmgdrrLmgdfrdMcossin||棒受到的重力矩为cos21cos0mgLdrrLmgdMMLLgmLmgLJM2cos33/2/cos2由转动定律，其角加速度的大小为25在重力矩的作用下，刚体的重力势能转化为转动动能。考察细棒质心下降的高度sin21hhmg023/22sin2222212212mLJJEElmgkkLgsin3知其损失的势能为此即重力矩做功的大小,再根据动能定理，有解得26例7-9质量为、半径为匀质圆盘置于水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为。设初态圆盘绕其中心轴的角速度为，求圆盘因摩擦而静止时转过的角度和时间。mR2RmrdrdSdm2grdrdmg2grdrdmgdf2rdr解：由于质量分布具有轴对称性，所以考察图中以为半径，宽度为的小圆环，如图7-12，圆盘的面密度为则小圆环的质量所受重力为摩擦力为27摩擦力矩为drrRmgdrgrrdfdMf22222mgRdrrRmgMRf32220222)2(2132mRmgRMAfgR2832232fmRMtmgRt34Rtg作用在整个圆盘上的摩擦力矩为根据动能定理，摩擦力矩所做的功的大小等于圆盘的初动能，有由此解得圆盘转过的角度为依据角动量定理，摩擦力矩的冲量矩等于圆盘角动量的改变量圆盘转动时间28演示实验(一)茹可夫斯基凳（角动量守恒例子）花样滑冰跳水(二)自行车转盘（角动量定理例子）mmω1r2r29总结：刚体定轴转动的运动定律一、刚体定轴转动的转动定律二、转动惯量的计算三、刚体定轴转动的角动量定理四、角动量守恒定律五、刚体定轴转动的能量关系MJ刚体定轴转动时合外力矩M等于转动惯量I乘以角加速度β22iiJmrrdm或JML/dtLJd刚体定轴转动的角动量，且22112122AMdJJ合力矩的功等于转动动能的增量不变时，角动量LM030例7-10质点与质量均匀的细棒相撞(如图)，设碰撞是完全非弹性碰撞，求：棒摆的最大角度。解：过程1质点与细棒相碰撞碰撞过程中系统对o点的合力矩为0MolMm0所以，系统对o点的角动量守恒。即，21LL131220mlMllm312cos1cos1213121222mglMglmlMl细棒势能质点势能olMm0过程2质点、细棒上摆,系统中包括地球，只有保守内力作功，所以机械能守恒。设初态为势能零点两式联立得解))3)(2(31arccos(202glmMmMvm131220mlMllm32补充例3如图所示一根长l，质量为m1的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直方向。今有一质量为m2的子弹，以水平速度v0射入离棒的下端四分之一处并以v0/2的速度沿反方向弹回。求棒的初始角速度及能摆过去的最大摆角。解：（1）因为角动量守恒lmvm102827lvm4302)83()31(0221lvmlm=m1m2v0ov0思考:子弹相对o点的角动量多大?33m1o（2）因为机械能守恒,列方程2102)827(3g-1coslmvml211(1cos)22lJmg2113Jml细棒转动惯量34xxdx解：这是一个变力矩作用下的转动问题,先求力矩xbdxkkvdsdfdxkbxxbdxxkxdfdM2补充例4：匀质薄板，宽a，高b，单位面积受阻力-kv作用，角速度由变化到要多少时间？002135302031akbdxxkbdMMaadtdIIMdtdIkba331dIdtkbat0021303132ln3kbaIt36一、基本特征回转仪绕对称轴高速旋转陀螺top1)对称轴高速2)定点外力对定点求力矩二、现象对称轴绕定点旋转L补充刚体的定点运动37三、解释1）必须具有对称轴2）高速旋转gmrMc0ML0每瞬时外力矩只改变角动量的方向不改变角动量的大小Lo重力对定点o的力矩mgtLMdd0cr38作业•1教材习题2-15，2-17，2.19，2-18，2-25，2-29，2-30•2简述质点系运动的基本规律，分析它们与单个质点运动规律的异同。•作业要按时完成39本章小结1、分清质点、质点系、刚体模型的特点及运动特征2、比较相似概念与相似规律的异同，理解规律的文字表述（如质量与转动惯量，动量与角动量，动能与转动动能，引力与引力势能，弹力与弹性势能，变力做功与变力的冲量，牛顿运动定律与转动定律等）3、加深理解三大守恒定律，注意各