7弹塑性力学塑性应力应变关系B

7.3强化法则1）强化定律的概念强化定律是确定硬、软化材料在给定应力增量下将引起多大的塑性应变的一条准则，也是从某一个屈服面如何进入后继屈服面的一条准则。单轴拉伸下的强化•随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化•新的屈服极限：(s)new=Max()•后继屈服条件（也称加载条件）＝(s)new处于屈服状态(s)new处于卸载状态•Max()随塑性变形历史单调增长，Max()＝(p)•后继屈服条件即加载条件也可表示为(p)＝0psB*A'COEepA复杂应力状态•使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形历史，•后继屈服条件f(ij，)=0随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。施加增量dij：（1）加载：dij指向加载面外（2）中性变载：dij沿着加载面（3）卸载：dij指向加载面内加载卸载?中性变载?加载面ndddij当应力状态ij处在加载面上，f(ij，)=0f(,ijf(d,dijij0dfdfijij•增量后f(ij+dij，+d)=0任何一种应力状态都不能位于加载面之外•增量前f(ij，)=0，•一致性条件：表达加载历史的参量为硬化参量，它又称为内变量（internal-variable），它不能由观测仪器直接观测求出，而应力变形一类可由仪器直接测出的量称外变量。硬化参量记为加载历史的表达目前常用的硬化参量有如下几种：1．塑性功是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。2．塑性应变3．等效塑性剪应变4．塑性体应变pijijpdwpijpijpijpddS32pzpypxpvpw•随加载过程，内变量不断地增加•中性变载或者卸载时，则内变量保持不变总之：内变量只会增加，不会减少。且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。是塑性变形的不可逆性所决定的。常用的强化模型1.等向强化•几何特点（在应力空间）：加载面形状和中心位置都不变，大小变化，形状相似的扩大。•物理意义：假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。•数学表示：f(ij)k()=0进一步解释：等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。032J023ijijss0)(pdMises初始屈服条件函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定加载（后继屈服）条件032sJ0322sJ2.随动强化•几何特点（在应力空间）：形状和大小不变，中心位置，加载面作刚体移动。•物理意义：材料在强化后为各向异性。•数学表示：f(ijij)k=0ij是一个表征加载面中心移动，称为背应力（backstress）Prager随动强化模型背应力增量应平行于塑性应变增量dij=c式中c是材料常数，由试验确定。对于Mises屈服条件，该模型可写成spijijpijijpijijcscsc23pijd3混合强化•几何特点：加载面大小、位置和中心都改变，它是前面两种情况的综合，•数学表达：f(ijij)k()=0与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。•说明：以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在应力空间中进行的。对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更方便些。7.4增量理论1）本构关系的一般形式本构关系的推导方法（用矩阵形式）应变增量的分解：弹性部分：peddd}{}{}{}{][}{1dDdeevvvvvvvvvvvEDe21000021000021000111)21)(1(][称对}{}{1dfAd}{}{}{1dfgAdTp}{}{}{1}{][1dfgAdDdTe用应力增量表示应变增量：A可通过实验测定eDf][}{dgDfAddfgDfAdfdDfeTTeTTeT}{][}{}{}{}{][}{1}{}{][}{为了求出逆关系，将上式两端乘上ddgDfADfeTeT}{][}{][}{dDdDDddDdgddDdddeppegDfADfgDeepeeTeTe)]([)][]([}{][}{}{}{][}{}{}{][}{][}{}{][1}{][}{][}{}{][][gDfADfgDpeTeTeD7.5全量理论•增量理论：一般来说，增量应力—应变关系（本构关系）是不可积的，在某些加载情况下，增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系，•全量理论：应力应变一一对应的确定关系，相当于非线性弹性（不考虑卸载），求解简单。简单加载（比例加载）•是指应力各分量之间成比例且单调增长，即（t0，dt0）0ijijt0ijijtssoxye'1e'2e'1e'3dijp•在平面上，该加载路径是一条=const的射线，deij=dsij+dsij（Mises准则）dkk=dkkG21)21(EvtijtijtijtdsdtsGdte000021ttdt01eij=sijkk=kk)21(G)21(Ev令H=1/2G+得：eij=Hsijeijeij=H2sijsij得：2323323223ijijijijijijijijsseesseeHijijse23单一曲线假定当材料几乎为不可压缩时，按照不同应力组合所得出的～曲线与单轴拉伸时的～曲线十分相近。如何保证物体的每一个微小单元都处在简单（比例）加载情况，Ilusion给出了一组充分条件。•小变形；•材料不可压缩；•外荷载按比例单调增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；•材料～的曲线具有幂指数硬化形式nA7.6稳定公设（1）稳定材料：应力增加，应变随之增加，即0，（2）不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，0，（3）随应力增加，应变减少，这种情况和能量守恒原理矛盾•从1点的应力状态（是静力可能的应力）开始，•施加某种外力使其达到2点（其应力为ij）并进入屈服，•再施加应力增量dij使其加载到达3点（其应力为ij+dij)，•然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态。应力循环0ij0ij0ij1234pd0123(4)ijdij.ij.ij0在如此的应力循环1-2-3-4内，附加应力ij所做的功应不小于零：Drucker公设0ijijijijijd0)(0在应力循环中，附加应力在弹性应变上所做功为零0)(0ijeijijijd0)(0ijpijijijdpijeijijdddDrucker公设的推论由于路径是任意的，所以：0)(0pijijijdpijijpijijdd0又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等于静力可能应力所做的塑性功，也可写为：0pijijdd加载面外凸性定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸。由于应力增量和塑性应变增量矢量的标量积非负，则初始屈服面和后继加载面必然是外凸的。)(0ijijpijd0加载面n超平面dpijij0p0dAA00ijijAA正交性塑性应变增量必须沿着外法向方向npijdijpijfdd假定屈服函数f与静水压力无关，必然是一个偏张量，因此，也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。ijfpijddp与n两者方向一致，则Drucker公设变为dn0只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。Drucker公设是一个充分非必要准则，直接导致了加载面外凸性和正交流动法则。对流动法则：•g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈服面正交。在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f•若gf，为非关联的流动法则，塑性应变增量与屈服面不正交。ijpijgdd（1）对于不稳定材料（即有应变软化存在）的情况，应力循环不可能构成，因此，Drucker公设不适用于软化材料。（2）以上关于材料性质的Drucker公设并不是从热力学定律导出的，而是在大量宏观实验基础上总结出来的，它们对许多材料都适用。Drucker公设的两点说明Ilyushin公设（同时适用于稳定和非稳定材料）对于弹塑性材料，在应变空间的任意闭循环中，外载所做的功非负。7.7典型例题例1：对Mises屈服条件，证明：ijijijsJf2证：Mises屈服条件为0322sJfklppklijmnmnklijklklijsssssJJ312122klpjpiljkinlmkmnmnnlmkss3121ijklijljkiklss31=mknlklmnssmknlsmn=skl例2：对于强化材料，其初始拉伸屈服极限为s，若材料处于平面应力状态，即3=0，当加上1=2=s时，材料屈服，然后再施加应力增量d1与d2，且d1=d2，试按Mises屈服条件与Tresca条件判断材料所处的状态。解（1）应力状态是否在屈服面上当材料处于3=0，1=2=s的平面应力状态时，s3=s，s1=s2=s，s12=s23=s13=0该应力状态的J2和max分别为J2=[(s1)2+(s2)2+(s3)2]=(s)2max=(13)=s323121312121（2）加、卸载或中性变载取决(f/ij)dij的符号。•对于Mises屈服条件：dij=sijdij=s1d1+s2d2=0材料处于中性变载。•按Tresca屈服条件：dij=d1+0d2=d1显然，当d10材料处于加载，反之材料处于卸载。ijfijf2121例3已知处于平面应变状态（z=0）中的一个材料单元，它的应力分量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑性，Poisson比1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。解：屈服前处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有z=(x+y)=偏应力分量为sx=(2)，sy=(1+)，sz=(12)，sxy=syz=szx=0313131Mises屈服0=在施加dx=d时材料处于加载状态，对于理想弹塑性则要求dij=0sxdx+sydy+szdz=0由于dy=0，最后得：ddz2120322sJf12sijf