7章点的合成运动

1§7–1点的合成运动的概念§7–2点的速度合成定理§7–3牵连运动为平动时点的加速度合成定理§7–4牵连运动为转动时点的加速度合成定理习题课第7章点的合成运动2§7-1点的合成运动的概念一．坐标系：1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。3三．三种运动及三种速度与三种加速度。１．绝对运动：动点对静系的运动。２．相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。３．牵连运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度aaevearvraav牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。点的运动刚体的运动二．动点：所研究的点（运动着的点）。4下面举例说明以上各概念：四．动点的选择原则：一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。五．动系的选择原则：动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上5相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线6evrvav绝对速度：相对速度：牵连速度：7绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：aaeara8动点：A（在圆盘上)动系：O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点：A1（在O'A1摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动9若动点A在偏心轮上时动点：A(在AB杆上)A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动[注]要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。10§7－２点的速度合成定理速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。1MM＝'MM＋'1MM当tt+△tABA'B'MM'也可看成MM１M´MM'为绝对轨迹MM'为绝对位移M1M'为相对轨迹M1M'为相对位移tMMtMMtMMttt10100limlimlimt将上式两边同除以后，0t时的极限，得取一．证明1112说明：va—动点的绝对速度；vr—动点的相对速度；ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度I)动系作平动时，动系上各点速度都相等。II)动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv13点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二．应用举例[例1]桥式吊车已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。14作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为222vvvvvvreaA2平平vv1tg解：选取动点:物块A动系:小车静系:地面相对运动:直线;相对速度vr=v方向牵连运动:平动;牵连速度ve=v平方向绝对运动:曲线;绝对速度va的大小,方向待求由速度合成定理：reavvv15解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。绝对速度va=r方向OA相对速度vr=?方向//O1B牵连速度ve=?方向O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又（）[例2]曲柄摆杆机构已知：OA=r,,OO1=l图示瞬时OAOO1求：摆杆O1B角速度1由速度合成定理va=vr+ve作出速度平行四边形如图示。16由速度合成定理va=vr+ve，作出速度平行四边形如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，静系固结于基座。绝对速度va=?待求，方向//AB相对速度vr=?未知，方向CA牵连速度ve=OA=2e,方向OA)(332332300evetgvvABea[例3]圆盘凸轮机构已知：OC＝e,,（匀角速度）图示瞬时,OCCA且O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。eR317由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和静系。三种运动的分析。三种速度的分析。根据速度合成定理作出速度平行四边形。根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。,reavvv18动点、动系和静系的选择原则动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。19分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。[例４]已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。;30,v20解:取凸轮上C点为动点,动系固结于OA杆上,静系固结于基座。绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:,方向vvaOCOCve方向待求未知,,方向未知,rvOA如图示。根据速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形rvvrrve6333212vvvae33tg（）,2sinrrOCve又21§7-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理reavvv由于牵连运动为平动，故由速度合成定理'',OeOeaavv''''''vrkdtdzjdtdyidtdx而kdtdzjdtdyidtdxvvOa'''对t求导：''''''222222kdtzdjdtydidtxddtvddtvdaOaa设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。220',0',0'dtzddtyddtid(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以）',','kjireaaaa—牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。'''''',222222''kdtzdjdtydidtxdaaadtvdreOO又naaanrrneenaaaaaaaa∴一般式可写为：23解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。[例1]已知：凸轮半径求：=60o时,顶杆AB的加速度。ooavR,,24绝对速度va=?,方向AB；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr=?,方向CA;相对加速度ar=?方向CA,方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形,如图示。003260sinsinvvvvoerRvarnr/225因牵连运动为平动，故有nreaaaaarRvRvRvarnr34/)32(/20202其中作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得nreaaaacossin60sin/)3460cos(sin/)cos(200Rvaaaanrea整理得)38(33200RvaaaaAB[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同n26§7-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。设一圆盘以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？27Rvavrrr2,常数有相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出常数rreavRvvv选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动RaRvee2,（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以rrraavRvRRvRRva2)(2222方向指向圆心Ｏ点28分析上式：还多出一项2vr。可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？2vr又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。earaaa,,/22RaRvaerrrrraavRvRRvRRva2)(222229三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度t瞬时在位置Ｉt+t瞬时在位置IIevrvreavvv'''reavvv'ev'rv可以看出，经过t时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。设有已知杆OA在图示平面内以匀绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。30其中--在t内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。--在t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变量，与牵连转动的的大小有关。t时间间隔内的速度变化分析相对速度：由作速度矢量三角形，在矢量上截取长度后，分解为和rrrvvv,','rvrvrv'rv''rv'''rrrvvv即'rv''rv牵连速度：由作速度矢量三角形，在矢量上截取等于长后，将分解为和，eeevvv,','evevev'ev''ev'''eeevvv即31其中:—表示t内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。—表示t内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的大小改变量，与相对速度有关。'ev''evrv加速度分析根据加速度定义tvvvvtvvareretaata)()''(lim'lim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)'()'(lim上式中各项的物理意义如下：第一项大小：eetetaOMtvtv200lim'limtvtvtvtvrtrtetet''lim'lim''lim'lim000032方向：t0时，0,其方向沿着直杆指向A点。因此，第一项正是t瞬时动点的牵连加速度。ea第三项大小：为对应于大小改变rrrtadtvdtv'lim0rv方向：总是沿直杆。因此，该项恰是ｔ瞬时动点的相对加速度。ra第二项大小：tOMOMtvvtvteetet'lim'lim''lim000rrtvvtMM方向,'lim10该项为由于相对运动的存在