7线性变换.

1第七章线性变换§8若当(Jordan)标准形介绍§7不变子空间§6线性变换的值域与核§5对角矩阵§4特征值与特征向量§3线性变换的矩阵§2线性变换的运算§1线性变换的定义2§1线性变换的定义线性变换的引入线性变换的定义线性变换的举例线性变换的性质3一、线性变换的引入数域P上任意一个n维线性空间都与Pn同构，因此，有限维线性空间的结构可认为已完全清楚.线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换.本章要讨论的线性变换也是最简单的，认为是最基本的一种变换.下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P上的线性空间.同时也可正如线性函数是最简单的且最基本的函数一样.4二、线性变换的定义定义1线性空间V的一个变换A称为线性变换，任意数k，都有A(+)=A()+A(),A(k)=kA().如果对于V中任意的元素,和数域P中5以后我们一般用花体拉丁字母A,B,…代表V的变换，A()或A代表元素在变换A下的像.定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念有着丰富的内容.6三、线性变换的举例例1平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.就是一个线性变换，我们用R表示.如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是(x,y),那么像R()的坐标，即旋转角之后的坐标(x,y)的公式为yxyxcossinsincos把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转角7Oxxyyxy图7-1=(x,y)=(x,y)如图7-1所示.同样，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换.8例2设是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量变到它在上的内射影的变换也是一个线性变换，以表示它..),(),()(A这里(,),(,)表示内积.几何意义如图7-2所示.A()xoyz图7-2用公式表示就是9例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换E，A()=(V),以及零变换0，即0()=0(V)都是线性变换.即10例4设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数，定义V的变换如下：k,V.不难证明，这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换,可用K表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0时，便得零变换.11数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表.例5在线性空间P[x]或者P[x]n中，求导数是一个线性变换.这个变换通常用D代表，即D(f(x))=f(x).例6定义在闭区间[a,b]上的全体连续函在这个空间中，变换(f(x))=xattfd)(是一线性变换.12例7镜象变换：R2中每个向量关于过原点的直线L相对称的变换，记为T，即=OAR2，T()==OB(如图7-3所示，其中A、B对称于直线L)也是R2上的线性变换.OxyABCL图7-313下面先来求镜象变换T,然后再证明它是线性变换.设直线L的某个方向的单位向量为(如图7-3所示)，则OxyABCL图7-3OC=(,),其中(,)为向量与的内积，于是=+AB=+2AC=+2(OC-)=-+2(,).14T()==OB所以=-+2(,).下面验证T是线性变换.,R2和,R,都有T(+)=-(+)+2(+,)=[-+2(,)]+[-+2(,)]=T()+T()所以T是线性变换.15四、线性变换的性质线性变换有以下三个简单性质：性质1设A是V的线性变换，则A(0)=0，A(-)=-A().证明由线性变换的定义，可得A(0)=A(0·)=0A()=0，A(-)=A((-1))=(-1)A()=-A().16性质2线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果是1,2,…,r的线性组合：=k11+k22+…+krr,那么经过线性变换A之后，A()是A(1),A(2),…,A(r)同样的线性组合：又如果1,2,…,r之间有关系式k11+k22+…+krr=0，A()=k1A(1)+k2A(2)+…+krA(r).17那么它们的像之间也有同样的关系以上两点，根据定义可以证明，由此即得性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组.但应该注意，可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组.例如零变换就是这样.k1A(1)+k2A(2)+…+krA(r)=0.性质3的逆是不对的，线性变换18线性变换的乘积§2线性变换的运算线性变换的加法线性变换的数量乘法线性变换的逆变换线性变换的多项式举例19(AB)()=A(B())(V).一、线性变换的乘积线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法.1.定义定义2设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积AB为202.性质性质1线性变换的乘积是线性变换.(AB)()证明设A,B是线性空间V的两个线性变换.因为=A(B())=A(B()B())=(AB)()+(AB)()，(A)(k)=A(B(k))=A(kB())=kA(B())=k(AB)().所以AB是线性变换.21D(f(x))=f(x),的乘积DI=E，但一般IDE.对于乘法，单位变换E有特殊的地位.对于任意线性变换A都有xttfxf0d)())((IAE=EA=A.(AB)C=A(BC).性质2结合律注意：线性变换的乘法一般不满足交换律.例，实数域R上的线性空间C1[x]，线性变换22二、线性变换的加法1.定义定义3设A,B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和A+B为(A+B)()=A()+B()(V).2.性质性质1线性变换的和是线性变换.23证明设A,B是线性空间V的两个线性变换.因为(A+B)(+)=A(+)+B(+)=(A()+A())+(B()+B())=(A()+B())+(A()+B())=(A+B)()+(A+B)(),(A+B)(k)=A(k)+B(k)=kA()+kB()=k(A+B)().证毕24性质2零变换与所有线性变换A的和仍等于A：负变换：线性变换A的负变换定义为：(-A)()=-A()(V).A+0=A.253.运算规律1)交换律A+B=B+A.2)结合律3)A+(-A)=0.4)乘法对加法的左右分配律A+(B+C)=(A+B)+C.A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.26仅证线性变换的乘法对加法的左分配律证明(A(B+C))()=A((B+C)())=A(B()+C())证毕A(B+C)=AB+AC.=A(B())+A(C())=(AB)()+(AC)()=(AB+AC)().27三、线性变换的数量乘法1.定义在上一节中我们看到,数域P中每个数k都确定了一个数乘变换K.利用线性变换的乘法,可以定义数域P中的数与线性变换的数量乘法：定义4数域P中的数与线性变换的数量乘法定义为kA=KA,即(kA)()=K(A())=KA().显然，kA是一个线性变换.282.运算规律1)(kl)A=k(lA),2)(k+l)A=kA+lA,3)k(A+B)=kA+kB,4)1A=A.29对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算.由加法与数量乘法的性质可知,线性空间V中全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.对于线性变换，我们也可定义逆变换.30四、线性变换的逆变换1.定义定义5线性空间V的线性变换A称为可逆的如果有V的变换B存在，使这时，变换B称为A的逆变换，记为A-1.AB=BA=E.312.性质如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-1也是线性变换.证明因为A-1()=A-1[(AA-1)()+(AA-1)()]=A-1[A(A-1())+A(A-1())]=(A-1A)(A-1()+A-1())=A-1()+A-1().32A-1(k)=A-1(k(AA-1)())=A-1(k(A(A-1)()))=A-1(A(kA-1()))=(A-1A)(kA-1())=kA-1().所以A-1是线性变换.证毕33五、线性变换的多项式1.线性变换的幂下面引进线性变换的多项式概念.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的,与乘积的结合方式无关.因此当n个(n是正整数)线性变换A相乘时，我们就可以用AA...An个来表示，称为A的n次幂.34简单地记作An.即An=AA...An个另外，规定A0=E.线性变换的幂运算规律An+m=AnAm,(An)m=Amn(m,n0).当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为A-n=(A-1)n(n为正整数).这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.35注意线性变换乘积的指数法则不成立，即，一般来说(AB)nAnBn.2.线性变换的多项式定义6设f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a0是P[x]中一多项式，A是V的一线性变换，则称f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0是线性变换A的多项式.36线性变换的多项式有以下性质：1)f(A)是一线性变换.2)如果在P[x]中，有h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x),那么h(A)=f(A)+g(A),p(A)=f(A)g(A).特别地，f(A)g(A)=g(A)f(A).37六、举例例1在三维几何空间中，对于某一向量的内射影A(投影)是一线性变换(参看图7-6).A可以用下面的公式来表示.),(),()(AA()图7-6这里(,),(,)表示内积.38在以为法向量的平面x上的内射影Ax()可以用公式xA()Ax()Rx()图7-7Ax()=-A()来表示(如图7-7).因此Ax=E-A,对于平面x的反射Rx也是一个线性变换，且Rx()=-2A()所以Rx=E-2A.39例2在线性空间Pn[x]中，求导数是一个线性变换，用D表示,显然有Dn=0.其次，变数的平移f()f(+a)(aP)也是一个线性变换，用Sa表示.根据泰勒展开式40,)()!1()(!2)()()()1(12nnfnafafafaf可知Sa实质上是D的多项式：Sa=E+aD!22aD2+…+)!1(1nanDn-1.41线性变换、基与基的像§3线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系相似矩阵42一、线性变换、基与基的像设V是数域P上n维线性空间，1,2,…,n是V的一组基，首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系.空间V中任一向量可以由基1,2,…,n线性表出，即=x11+x22+…+xnn(1)下面建立线性变换与矩阵的关系.其中系数是唯一确定的.43由于线性变换保持线性关系不变，A与基的像A1,A2,…,An之间也必然有相同的关系：A=A(x11+x22+…+xnn)=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n)(2)如果我们知道了基1,2,…,n的像，则线性空间中任意一个向量的像也就知道了.(x1,x2,…,xn)是在这组基下的坐标.因而在的像上式表明，44或者说1.设1,2,…,n是线性空间V的一组基.如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即Ai=Bi,i=1,2,…,n,那么A=B.证明证明A与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同.因此，就是要证明对任一向量等式A=B成立.而由A=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n)及假设A