线性相位FIR滤波器幅度特性Hg

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较7.6几种特殊类型滤波器简介第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特性。为了得到线性相位特性，对IIR滤波器必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本也高，又难以得到严格的线性相位特性。有限脉冲响应(FIR)滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。用N表示FIR滤波器单位脉冲响应h(n)的长度，其系统函数H(z)为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计H(z)是z－1的N－1次多项式，它在z平面上有N－1个零点，在原点z=0处有一个N－1重极点。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器最突出的优点。FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大差别。FIR滤波器设计任务是选择有限长度的h(n)，使频率响应函数H(ejω)满足技术指标要求。本章主要介绍三种设计方法：窗函数法、频率采10)()(NnnznhzH第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点1．线性相位FIR对于长度为N的h(n)，频率响应函数为式中，Hg(ω)称为幅度特性;θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。线性相位FIR滤波器是指θ(ω)是ω的线性函数，即10jje)()e(NnnnhH（7.1.1）)(jje)()e(gHH（7.1.2）第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计如果θ(ω)满足下式：严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位特性，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即也称这种情况为线性相位。一般称满足（7.1.3）式是第一类线性相位；满足（7.1.4）式为第二类线性相位。θ0=－π/2是第二类线性相位特性常用的情况，所以本d()d，)(为常数(7.1.3)00)(，是起始相位(7.1.4)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2.线性相位FIR的时域约束条件线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，对h(n)1)第一类线性相位对h(n)第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数θ(ω)=－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:（7.1.5）1jjjg0(e)()e()eNnnHhnH1g0()(cosjsin)()(cosjsin)NnhnnnH第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计由式（7.1.5）得到:将（7.1.6）式中两式相除得到：1010()coscossin()sinNnNnhnnhnn1g01g0()cos()cos()sin()sinNnNnHhnnHhnn（7.1.6）第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计即移项并用三角公式化简得到:函数h(n)sinω(n－τ)关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。因为sinω(n-τ)关于n=τ奇对称，如果取τ=(N－1)/2，则要求h(n)关于(N－1)/2偶对称，所以要求τ和h(n)满足如下条件:1100()cossin()sincosNNnnhnnhnn10()sin[()]0Nnhnn(7.1.7)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计由以上推导结论可知:如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第一类线性相位特性（严格线性相位特性），则h(n)应当关于n=(N－1)/2点偶对称。当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即θ(ω)=－ω(N－1)/2。N为奇数和偶数时,h(n)的对称情况分别如表7.1.1中的情况1和情况2所示。（7.1.8）1(),2()(1),0≤≤1NhnhNnnN第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.1.1线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2)第二类线性相位对h(n)第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数θ(ω)=－π/2－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2经过同样的推导过程可得到:函数h(n)cos［ω(n－τ)］关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称，是满足式（7.1.9）的一组解，因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满足如下条件：1jjj(/2)g0(e)()e()eNnnHhnH10()cos[()]0Nnhnn（7.1.9）第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计由以上推导结论可知，如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第二类线性相位特性，则h(n)应当关于n=(N－1)/2点奇对称。N为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表7.1.1中情况3和情况4所示。（7.1.10）1(),22()(1),0≤≤1NhnhNnnN第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.1.1线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2．线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件。将时域约束条件h(n)=±h(N－n－1)代入式（7.1.1），设h(n)为实序列，即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性Hg(ω)的约束条件。当N取奇数和偶数时对Hg(ω)的约束不同，因此，对于两类线性相位特性，下面分四种情况讨论其幅度特性的特点。这些特点对正确设计线性相位FIR数字滤波器具有重要的指导作用。为了推导方便，引入两个参数符号：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计式中，表示取不大于(N－1)/2的最大整数。显然，仅当N为奇数时，M=τ＝(N－1)/2。情况1：h(n)=h(N－n－1),N将时域约束条件h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:2/)1(N1,2N12NM第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计所以因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0,π,2π三点偶对称，所以由式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点偶对称。因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。对于N=13的低通情况，Hg(ω)的一种例图如表7.1.1中情况11g0()()2()cos[()]MnHhhnn（7.1.11）第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计情况2：h(n)=h(N－n－1),N为偶数仿照情况1的推导方法得到:（7.1.12）g0()2()cos[()]MnHhnn式中，。因为Ｎ是偶数，所以当时(1)/2/21/2NN1jjjg0(e)()e=()eNnnHHhnj0e2()cos(())Mnhnncos[()]cossin022NNnnn第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计而且cos［ω(n－τ)］关于过零点奇对称，关于ω=0和2π偶对称。所以Hg(π)=0，Hg(ω)关于ω=π奇对称，关于ω=0和2π偶对称。因此，情况2不能实现高通和带阻滤波器。对N=12的低通情况，Hg(ω)如表7.1.1中情况2所示。情况3：h(n)=－h(N－n－1)，N为奇数。将时域约束条件h(n)=－h(N－n－1)和θ(ω)=-π/2-ωτ代入式（7.1.1）和（7.1.2），并考虑得到:102Nh第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计1g0()2()sin[()]MnHhnn所以：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计式中，N是奇数，τ=(N－1)/2是整数。所以，当ω=0,π,2π时，sin［ω(n－τ)］=0,而且sin［ω(n－τ)］关于过零点奇对称。因此Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点奇对称。由此可见，情况3只能实现带通滤波器。对N=13的带通滤波器举例，Hg(ω)如表7.1.1中情况3第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计情况4：h(n)=－h(N－n－1),N为偶数。式中，N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0,2π时，sin[ω(n－τ)]=0；当ω=π时，sin[ω(n－τ)]=(－1)n－N/2,为峰值点。而且sin[ω(n－τ)]关于过零点ω=0和2π两点奇对称，关于峰值点ω=π偶对称。因此Hg(ω)关于ω=0和2π两点奇对称，关于ω=π偶对称。由此可见，情况4不能实现低通和带阻滤波器。对N=12的高通滤波器举例，Hg(ω)如表7.1.1中情况4所示。g0()2()sin[()]MnHhnn(7.1.13)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计为了便于比较，将上面四种情况的h(n)及其幅度特性需要满足的条件列于表7.1.1中。应当注意，对每一种情况仅画出满足幅度特性要求的一种例图。例如，情况1仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可以画出满足情况1的幅度约束条件（Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点偶对称）的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。所以，仅从表7.1.1就认为情况1第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3.线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点将h(n)=±h(N－1－n)代入上式,得到:10()()NnnHzhnz（7.1.14）11001(1)(1)10()()(1)()()NNnnnnNNmNmHzhnzhNnzhmzzHz第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计由（7.1.14）式可以看出，如z=zi是H(z)的零点，其倒数也必然是其零点；又因为h(n)是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，因此也是其零点。这样，线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了,如图7.1.1中。当然，也有一些特殊情况，如图7.1.1中z1、z2和z41iz*1*)(iizz和1**13333()zzzz、、和第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.1线性相位FIR数字滤波器的零点分布第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.2.1窗函数法设计原理设希望逼近的滤波器频率响应函数为Hd(ejω)，其单位脉冲响应是hd(n)。ccde)e(π21)(e)()e(jjddjdjdnnnHnhnhH如果能够由已知的Hd(ejω)求出hd(n)，经过Z变换可得到滤波器的系统函数。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计但通常以理想滤波器作为Hd(ejω)，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。例如，线性相位理想低通滤波器的频率响应函数Hd(ejω)为其单位脉冲响应hd(n)为jjcdce||(e)0πH(7.2.1))(π)](sin[deeπ21)(cjjdccnnnhna(7.2.2)由此可得：单位脉冲响应hd(n)是无限长的，且是非