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Ｓ，ＳＭＢ〇ｍ＾－ｒ■■■■．＝２０１６年苟哪１１７中学数学教学参考（下旬）￣陕西中考压闕用“隐形０”解题的方法有：１．“定角对定弦”；ｊ＾；ｒｊｆ＾：＾２．利用等腰三角形解题；３．“定角夹定高”等。＿＿＿§“隐形歸”麵答中考题中的妙用ｉ＿＿ＷＷＷｍ，．ａ马金安（西北工业大学附属中学）中考压轴题因其具有选拔性功能，所以难度较离为３，所以？Ｏ与ＢＣ相切，从而得到符合条件的点大，大部分学生解决起来较困难。如何突破压轴题的Ｑ唯一。过点￡作ＥＧ丄ＢＣ，垂足为Ｇ，得四边形思维难点，成为大家共同研究的重点。笔者在对近些ＥＯＱＧ是正方形，所以ＥＧ＝ＯＱ＝３。在ＲｔＡＢＥＧ年中考数学陕西卷研究后发现，“隐形圆”在解题中发中，由正切得ＢＧ＝Ｖ＾＂，所以ＢＱ＝ＢＧ＋ＧＱ＝ＢＧ＋挥了重要作用。下面笔者谈一谈“隐形圆”的方法￡〇＝＃＋３＜＞使用。例２（２０１６年中考数学陕西卷第２５题第（１Ｄ）１利用“定角对定弦”作“隐形圆”问＞如图３，有一矩形板材ＡＢＣＤＬ＇中，ＡＢ＝３米，ＡＤ＝６米，现想在图Ｍ巾果ＥＬ知；ｆｔ及其胃ｂｉｌｌ从板材中裁出一个面积尽可能＼Ｊ可以组成唯一的外接圆。匕的主要依据是正弦定理。大的四边形￡ＦＧＨ部ｆ牛，使ＢＧＩＩ３Ｃ例如，若已知《和之八，则ａｓｉｎＡ＝２ｉ？，因此，这时该。二ｉ？的半径固定，该图形有唯－的外接圆，麵圆的特ｆＥｍ，￡：Ｆ＝ＦＧ＝＾米’Ｚ￡ＨＧ＝４５。经研殊性去解题，可顺利突破难点。究，只有当点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在边机上，且ｍ（２〇１４年中考数学陕＾ＡＦ＜ＢＦ，并满足点Ｈ在矩形就Ｄ内部或边上时’西卷第２５题第（ＩＩ）问）如图才可能裁出符合要求的部件’试问能否裁出符合要求ＡＡＢＣＺＡＥＣ＝６０％ＢＣ＝／且面积尽可能大的四边形部件？若能，求出１２，ＡＤ是ＢＣ边上的高，分＾％，、裁得的四边形瓦簡部件的面积；若不能，请说明别为边ＡＢ，ＡＣ边的中点，当ＡＤ＝６时，ＢＣ边上存在一点＜３，使ＺＥＱＦ＝９０。，求此时ｆｉＱ的长。解析：因为ＺＥＦＧ＝９０°，＝ＦＧ＝￥米，联结解析：这是一个有特殊角的“定角对定弦”问题，￡Ｇ，可得ＥＧ＝＃，所以ＲｔＡＥＦＧ的面积是固定当出现９０。角时，根据半圆或直径所对的圆周角是直的。又因为ＺＥＨＧ＝４５°，所以ＡＥＨＧ符合定角对定角，因此只需构造９〇°角所对的边为直径的圆，就可以弦问题，因此，可以考虑作使问题迎刃而解。由于是ＡＡＢＣ的中位线，得ＡＥＨＧ的外接圆，如图４，只需ＥＦ＾ＢＣ＾，ＺＥＱＦ＾，ｍＡＥＨＧ的面积最大即可，因此ＦｆｏＮｊ）＾转化成求￡Ｇ边上的高的最大值ｓｃ？图４ｃ此ＡＥＦＱ存在以￡Ｆ为直径的问题。通过作ＡＥＦＧ的对称ＡＥＯＧ得到Ｚ￡〇Ｇ＝唯一的外接圆。如图２，取ＥＦ的ＢＧＤＱＣ９０°，从而四边形￡ＦＧＯ是正方形，圆周角＝中点〇，过〇点作ＯＱ丄ＢＣ，垂图２４５。，这时当？，０，片三点共线时，，点Ｈ，为足为Ｑ，以￡Ｆ为直径作？０。因为￡Ｆ与ＢＣ间的距符合条件的使ＥＧ边上的高为最大值的点，求出高的＂ｍ１２０１６年垔！期：．．ｗｗｖｊｌＳＢ－Ｂ￣￣■轉数雜学＃＃（下甸）最大值即可求出四边形面积的最大值。３利用“定角夹定高，，作“隐形圆”２若－个三角形有－个細它所纖边上的高是当已知一边和一个动点要构成一个等腰三角形一个定值时，此时这个三角形有最小的外接圆。时，这个动点的位置可以有三种情况：（１）动点在已知例４（２０１６年西工大附中线段的垂直平分线上；（２）动点在以已知边的一个端模考题第２５题（１Ｅ）问）如图９，四点为圆心，边长为半径的圆上（两端均不符合）。因边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝Ｚ＿＿＿Ａ此，可以利用这个动点与已知线段构成的等腰三角形４’ａｄ／／ｂｃ，ｚｂａｄ＝ｚｄ＝图９所在的圆进行解题１２０’点分别在四边形ＡＢＣＤ的边ＢＣ’ＣＤ上’例３（２０１６年中考数学陕西＞ＺＥＡＦ＝６０°，ＡＡＥＦ的面积有没有最小值？如果卷第１４题）姻５，在菱形ＡＪＢＣＤｆ．ｐ＾有’求出最小值５如果没有’请说明理由。中，点Ｐ是／／分析：已知条件分散，不便于解题，通过旋转的方这个菱形内Ｍ边上的－点，若ｓｃ式将分散。的条件集中，将ＡＡＤＦ绕点Ａ顺时针方向以点ＰＡＣ为顶点的三角形是等腰三角形，则Ｐ，Ｄ＿１２ＨＡＡ＾＾’胃Ｗｆｆｉ＝ＦＡＥ＾ＡＭＡＥ（Ｐ’Ｄ两点不重合）两点间的最短距离为。解析：由于以点Ｐ，Ｂ，Ｃ为顶点的三角形是等Ｈ：Ｈ一ｍ＾ａ，ｎ积的最小值就转化为“定角夹定高”问题。模仿例１ｐ＾＿法，就可以将问题解决。位置可以分为三种情况：⑴如Ｓ，／／ｒ＼解：擁１０，将ＡＡＤＦ绕点６，当以Ｊ３Ｃ为底时’点Ｉ３在ＢＣ［／＼／Ａ顺时针旋转１２０。到ＡＡＢＭ的垂直平分线上，因为四边形＆、、、一处，由旋转得ＢＭ＝ＤＦ，ＡＭ＝／／ＷＣ＼ＡＢＣＤ为菱形且ＺＡＢＣ＝６〇。，所图６ＡＦ，ＺＡＢＭ＝ＺＤ。因为ＡＤ／／％１０°以联结ＡＣ，得到ＡＡＢＣ为等边三角形，所以ＡＣ＝＝１２０。，所以ＺＡＢＨ＝６０。，易证明ＡＢ＝２，而ＺＡＪ３Ｃ＝６０°，这符合定角对定弦问题，故△＾￡２厶从八￡（３八８），所以之从￡：４＝＾＾￡八。作可作ＡＡＢＣ的外接圆？Ｅ，所以点Ｐ在等边ＡＡＢＣＡＨ丄ＢＣ，ＡＫ丄ＥＦ，贝！］Ａｆｆ＝ＡｉＣ。的ＢＣ边的高上。由菱形可得ＡＡＰＤ为直角二角在ＲｔＡＡ紐中，ＡＨ＝ＡＢｓｉｎ６０。＝２７＾＝４尺，形，所以当点Ｐ在这种情况下’ＰＤ有最小值为２。作ＡＡ￡Ｆ的外接圆？０，联结０八，０￡，０尸。作０社（２）当以ＢＣ为腰时，以点Ｃ吟、ＥＦ，因为Ｚ￡ＡＦ＝６０。，所以ＺＮＯＦ＝６０。。设￡Ｆ＝为圆心，ＡＣ为半径作圆，如图７，／／＼／２＾：ＷＩＮＦ＝ｘ则符合条件的所有点Ｐ都在菱形Ｉ￣Ｖｉ＇Ｒ２７Ｔ外，这种情况无解。＼Ｊ在ＲｔＡＯＮＦ中，ＯＮ＝ｆｘ，ＯＦ＝＾＾，所以（３）当以ＢＣ为腰时，如图８，、、、－’ＯＮ＋〇Ａ＝Ｖ＾：。因为ＯＡ＋Ｑ／Ｖ＞ｙｙＣ，所以彡以点Ｂ为圆心，ＡＢ为半径作圆，２＃，所以分２，所以Ｓａａｅｆ＞４ＶＩ。则符合条件的点Ｐ在弧ＡＣ上，利用圆外一点与圆心＋ｆｃＡＣ日且、ｅ上命且、一上丨丨ＡＤ故ＡＡ￡Ｆ的面积最小值为４＃。／’／５Ｆ７在求ＡＡＥＦ面积的最小值时，将角夹定高”而求出且＠晒＾＾、，２＝（转化成隐形圆的问题后，思路就清晰了。由于定角ＡＰＢＣ是等腰二角形，由圆＿＾Ｚ應＝６〇。，当灯取最小值时，ＡＡＦ就是等边三性可知线段ＰＤ最短。所以四￥＇、、、…，’角形，求出等边三角形的面积，即为ＡＡＥＦ面积的最＾ＡＢＣＤＭＭＢ，ＺＡＢＣ＝６０°，ｍｓ小值。这种方法适合于填空题或选择题，可以迅速写所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＺＡＢＣ＝ＺＡＤＣ＝６０。，所出效案以ＡＡＢＣ’ＡＡＤＣ；！等边三角形。所以ＢＯ＝ＤＯ＝在解题中，注意观察题目中的条件，看是否符合ＶＩ■，所以耶＝２如＝２＃。故抑最小值＝ＢＤ－条件可解“隐形圆”，若可以，相关题目的解决就会得Ｊ３Ｐ＝２ｖ＾—２。综上所述，ＰＤ最小值为２＃—２。心应手，游刃有余。