..圆锥曲线练习一、选择题(本大题共13小题,共65.0分)1.若曲线表示椭圆,则k的取值范围是()A.k>1B.k<-1C.-1<k<1D.-1<k<0或0<k<12.方程表示椭圆的必要不充分条件是()A.m∈(-1,2)B.m∈(-4,2)C.m∈(-4,-1)∪(-1,2)D.m∈(-1,+∞)3.已知椭圆:+=1,若椭圆的焦距为2,则k为()A.1或3B.1C.3D.64.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为()A.B.C.D.5.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”,那么()A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6.“a>0,b>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的()A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件7.方程+=10,化简的结果是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=18.设椭圆的左焦点为F,P为椭圆上一点,其横坐标为,则|PF|=()A.B.C.D.高中数学试卷第2页,共10页9.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x10.抛物线y=ax2(a<0)的准线方程是()A.y=-B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-3的距离为5,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.3B.4C.6D.812.已知点P是抛物线x=y2上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为()A.2B.C.-1D.+113.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k=()A.2B.-1C.2或-1D.1±二、填空题(本大题共2小题,共10.0分)14.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上,则=______.15.已知椭圆,焦点在y轴上,若焦距等于4,则实数k=____________.三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)16.已知三点P(,-)、A(-2,0)、B(2,0).求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程.17.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4.椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点.(1)求椭圆的方程;(2)求弦长|AB|..18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x,且焦距为4,已知点A(1,)(1)求双曲线的标准方程;(2)已知点A(1,),过点A的直线L交双曲线于M,N两点,点A为线段MN的中点,求直线L方程.19.已知抛物线的标准方程是y2=6x,(1)求它的焦点坐标和准线方程,(2)直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°,且与抛物线的交点为A、B,求AB的长度.20.已知椭圆的离心率,直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C,D两点,试判断是否存在实数k,使得以CD为直径的圆过定点E?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.21.已知椭圆C:4x2+y2=1及直线L:y=x+m.(1)当直线L和椭圆C有公共点时,求实数m的取值范围;(2)当直线L被椭圆C截得的弦最长时,求直线L所在的直线方程.答案和解析高中数学试卷第4页,共10页【答案】1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A14.15.816.解:(1)2a=PA+PB=2,所以a=,又c=2,所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为:+=1.17.解:(1)∵椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,∴,解得a=4,b=2,∴椭圆方程为=1.(2)联立,得5x2+16x=0,解得,,∴A(0,2),B(-,-),∴|AB|==.18.解:(1)设双曲线的标准方程为(a>0,b>0),则∵双曲线渐近线方程为y=±x,且焦距为4,∴,c=2∵c2=a2+b2∴a=1,b=∴双曲线的标准方程为;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),代入双曲线方程可得,两式相减,结合点A(1,)为线段MN的中点,可得∴=∴直线L方程为,即4x-6y-1=0...19.解:(1)抛物线的标准方程是y2=6x,焦点在x轴上,开口向右,2p=6,∴=∴焦点为F(,0),准线方程:x=-,(2)∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°,∴直线L的方程为y=x-,代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=9,所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12.故所求的弦长为12.20.解:(1)因为直线l:y=bx+2与圆x2+y2=2相切,∴,∴b=1,∵椭圆的离心率,∴,∴a2=3,∴所求椭圆的方程是.(2)直线y=kx+2代入椭圆方程,消去y可得:(1+3k2)x2+12kx+9=0∴△=36k2-36>0,∴k>1或k<-1,设C(x1,y1),D(x2,y2),则有,,若以CD为直径的圆过点E,则EC⊥ED,∵,,∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=0∴(1+k2)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0∴,解得,所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E.21.解:(1)由方程组,消去y,整理得5x2+2mx+m2-1=0.(2分)高中数学试卷第6页,共10页∴△=4m2-20(m2-1)=20-16m2(4分)因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0,即20-16m2≥0,解之得-.(5分)(2)设直线L和椭圆C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得,(8分)∴弦长|AB|===,-,∴当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线L方程为y=x.(10分)【解析】1.解:∵曲线表示椭圆,∴,解得-1<k<1,且k≠0.故选:D.曲线表示椭圆,可得,解出即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.解:方程表示椭圆的充要分条件是,即m∈(-4,-1)∪(-1,2).由题意可得,所求的m的范围包含集合(-4,-1)∪(-1,2),故选:B.由条件根据椭圆的标准方程,求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围,则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围,结合所给的选项,得出结论.本题主要考查椭圆的标准方程,充分条件、必要条件,要条件的定义,属于基础题.3.解:①椭圆+=1,中a2=2,b2=k,则c=,∴2c=2=2,解得k=1...②椭圆+=1,中a2=k,b2=2,则c=,∴2c=2=2,解得k=3.综上所述,k的值是1或3.故选:A.利用椭圆的简单性质直接求解.本题考查椭圆的简单性质,考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义,属于简单题.4.解:设椭圆方程为=1(a>b>0),由题意可得c=1,a=2,b=,即有椭圆方程为+=1.故选:B.设椭圆方程为=1(a>b>0),由题意可得c=1,a=2,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程.本题考查椭圆的方程的求法,注意运用待定系数法,考查椭圆的焦点的运用,属于基础题.5.解:命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时,再加上这个和大于两个定点之间的距离,可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,而点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值,∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B.6.解:a>0,b>0,方程ax2+by2=1不一定表示椭圆,如a=b=1;反之,若方程ax2+by2=1表示椭圆,则a>0,b>0.∴“a>0,b>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件.故选:C.直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案.本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查了椭圆的标准方程,是基础题.7.解:由+=10,可得点(x,y)到M(0,-3)、N(0,3)的距离之和正好等于10,再结合椭圆的定义可得点(x,y)的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,且2a=10、c=3,∴a=5,b=4,高中数学试卷第8页,共10页故要求的椭圆的方程为+=1,故选:C.有条件利用椭圆的定义、标准方程,以及简单性质,求得椭圆的标准方程.本题主要考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.8.解:椭圆的左焦点为F(-,0),右焦点为(,0),∵P为椭圆上一点,其横坐标为,∴P到右焦点的距离为∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=故选D.确定椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义,即可求得P到左焦点的距离.本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查椭圆的定义,属于中档题.9.解:∵点P到点(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1,∴将直线x+5=0右移1个单位,得直线x+4=0,即x=-4,可得点P到直线x=-4的距离等于它到点(4,0)的距离.根据抛物线的定义,可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线x=-4为准线的抛物线.设抛物线方程为y2=2px,可得=4,得2p=16,∴抛物线的标准方程为y2=16x,即为P点的轨迹方程.故选:C根据题意,点P到直线x=-4的距离等于它到点(4,0)的距离.由抛物线的定义与标准方程,不难得到P点的轨迹方程.本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1,求点P的轨迹方程,着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识,属于基础题.10.解:抛物线y=ax2(a<0)可化为,准线方程为.故选B.抛物线y=ax2(a<0)化为标准方程,即可求出抛物线的准线方程.本题考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,抛物线方程化为标准方程是关键.11.解:抛物线y2=4x的准线为x=-1,∵点P到直线x=-3的距离为5,∴点p到准线x=-1的距离是5-2=3,根据抛物线的定义可知,点P到该抛物线焦点的距离是3,故选A.先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程,根据点P到直线x=-3的距离求得点到准线的距离,进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等,从而求得答案.本题主要考查了抛物线的定义.充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距..离相等这一特性.12.解:抛物线x=y2,可得:y2=4x,抛物线的焦点坐标(1,0).依题点P到点A(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值,就是P到(0,2)与P到该抛物线准线的距离的和减去1.由抛物线的定义,可得则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1,可得:-1=.故选:C.先求出抛物线的焦点坐标,再由抛物线的定义转化求解即可.本小题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.13.解:联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x,消去y,可得k2x2-(4k+8)x+4=0,(k≠0),判别式(4k+8)2-16k2>0,解得k>-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,由AB中点的横坐标为2,即有=4,解得k=2或-1(舍去),故选:A.联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x,消去y,可得x的方程,由判别式大于0,运用韦达定理和中点坐标公式,计算即可求得k=2.本题考查抛物线的方程的运用,联立直线和抛物线方程,消去未知数,运用韦达定理和中点坐标公式,注意判别式大于0,属于中档题.14.解:利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为先利用椭圆的定义求得a+c,进而由正弦定理把原式转换成边的问题,进而求得答案.本题主要