-整式及其运算

第2讲整式及其运算考情分析，真题体验第2讲整式及其运算•1．了解整式的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算，能进行简单的整式乘法运算．•2．能推导乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算．•3．能用提取公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)．考情分析，真题体验第2讲整式及其运算•1．整式的相关概念和化简求值，乘法公式的灵活运用是考查的基本内容．•2．用整式(代数式)表示数量关系，以及探求、归纳与整式有关的一般规律用以解决实际问题．•3．主要的思想方法：类比的思想、转化的思想以及整体代换的方法．考情分析，真题体验第2讲整式及其运算1．(2015·金华)计算(a2)3结果正确的是(B)A．a5B．a6C．a8D．3a2【解析】(a2)3＝a2×3＝a62．(2015·金华)已知a＋b＝3，a－b＝5，则代数式a2－b2的值是____．【解析】a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝3×5＝1515考情分析，真题体验第2讲整式及其运算3．(2015·丽水)先化简，再求值：a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝33.解：a(a－3)＋(1－a)(1＋a)＝a2－3a＋1－a2＝1－3a.当a＝33时，原式＝1－3×33＝1－3第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究整式的相关概念和简单运算1．(2015·台州)单项式2a的系数是(A)A．2B．2aC．1D．a2．(2015·上海)当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是(A)A．a0＝1B．a－1＝－aC．(－a)2＝－a2D．a12＝1a2.3．按程序x→平方→＋x→÷x→－2x进行运算后，结果用x的代数式表示是________(填入运算结果的最简形式)．【解析】第1题单项式的系数是字母前面的常数；第2题除了0以外，任何数的0次都等于1，因为a＞0，所以，a0＝1；第3题按程序写出运算式子，再化简．1－x第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究1．单项式：由________或________相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做________，数字因数叫做________．2．多项式：由几个____________组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的______，其中不含字母的项叫________．字母数字次数系数单项式的和次数常数项第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究3．________与________统称为整式．4．同类项：多项式中所含________相同并且________________也相同的项，叫做同类项．单项式多项式字母相同字母的指数第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究5．幂的运算法则：(1)同底数幂相乘：am·an＝________(m，n为正整数)；(2)幂的乘方：(am)n＝________(m，n为正整数)；(3)积的乘方：(ab)n＝________(n为正整数)；(4)同底数幂相除：am÷an＝________(m，n为正整数，m＞n，a≠0)．am＋namnanbnam－n第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究4．(2015·湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是(A)A．1B．2C．3D．4【解析】4－3x＝4－3×1＝4－3＝15．(2014·毕节)若－2amb4与5an＋2b2m＋n可以合并成一项，则mn的值是(D)A．2B．0C．－1D．1【解析】根据同类项的定义，则m＝n＋2，4＝2m＋n，解得m＝2，n＝0.∴mn＝2o＝1第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究1．幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，应用法则计算时需分清式子的基本特征，以便合理运用法则．2．判断同类项时，需看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的位置无关，利用同类项的指数关系转化成方程解决．第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究因式分解相关概念和应用6．(2015·台州)把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是(C)A．2(x2－8)B．2(x－2)2C．2(x＋2)(x－2)D．2x(x－4x)第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究7．给出三个多项式：12x2＋2x－1，12x2＋4x＋1，12x2－2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【解析】第6题首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可；第7题选择两个多项式，合并同类项后再因式分解．解：情况一：12x2＋2x－1＋12x2＋4x＋1＝x2＋6x＝x(x＋6)情况二：12x2＋2x－1＋12x2－2x＝x2－1＝(x＋1)(x－1)情况三：12x2＋4x＋1＋12x2－2x＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究1．因式分解：把一个多项式化为几个__________的形式，像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法有提取公因式法、公式法等．3．因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；因式分解与整式乘法互为逆运算．整式的积第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究8．(2015·大连)若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为______．【解析】ab－9a＝a(b－9)＝49×100＝49004900第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究9．(2015·咸宁)如果实数x，y满足方程组x－y＝－12，2x＋2y＝5，求x2－y2的值．解：方程组第二个方程变形得：2(x＋y)＝5，即x＋y＝52，∵x－y＝－12，∴原式＝(x＋y)(x－y)＝－54第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究1．应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点．2．因式分解的一般步骤：一提(提取公因式)；二套(套用平方差公式或完全平方公式)；三查(一直分解到不能分解为止)．第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究整式的运算10．(2015·杭州)下列各式的变形中，正确的是(A)A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2B.1x－x＝1－xxC．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1D．x÷(x2＋x)＝1x＋1第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究11．(2015·南宁)先化简，再求值：(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)－1，其中x＝12.【解析】第10题根据代数式的运算法则逐一计算作出判断；第11题先利用乘法公式展开，再合并，然后把x＝12代入计算即可．解：原式＝1－x2＋x2＋2x－1＝2x，当x＝12时，原式＝2×12＝1第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究1．整式的加减实质就是___________．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项．2．整式乘法：(1)单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式乘多项式：m(a＋b)＝________．(3)多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝_______________．合并同类项ma＋mbac＋bc＋ad＋bd第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究3．乘法公式：(1)平方差公式：_________________________；(2)完全平方公式：_________________________.a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2＝(a±b)2第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究12．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12…第2000次输出的结果为____．【解析】发现第三次输出6，第四次输出3，第五次输出6，第六次输出3，……即从第三次开始，偶数次输出3，奇数次输出6.3第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究13．先化简，再求值：(x＋1)(2x－1)－(x－3)2，其中x＝－2.解：原式＝x2＋7x－10，当x＝－2时，原式＝－20第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究14．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝33.解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.当x＝－1，y＝33时，原式＝－(－1)2＋3×(33)2＝－1＋1＝0第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究1．对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类讨论等数学思想．2．在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究整式的应用15．(2015·安徽)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是________．xy＝z【解析】首先判断出这列数中，2的指数各项依次为1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足的关系式第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究16．7张如图①的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足(C)A．a＝52bB．a＝72bC．a＝3bD．a＝4b【解析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出两者之差，根据面积之差与BC无关即可求出a与b的关系式第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究17．(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5①52－4×22＝9②72－4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：__________________．(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．解：第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1，左边＝(2n＋1)2－4n2＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1，右边＝2(2n＋1)－1＝4n＋2－1＝4n＋1，∴左边＝右边，∴(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－192－4×42＝17由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究18．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处全高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长(A)A．102cmB．104cmC．106cmD．108cm【解析】设地球半径为r，绕一圈钢丝长为2πr，钢丝加长，即半径加16cm时，钢丝长为2π(r＋16)，则加长钢丝约为2π(r＋16)－2πr＝2π×16＝32π≈102cm.第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究19．(2015·舟山)如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋12b－1(a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40.(1)求这个格点多边形边界上的格点数b(用含a的代数式表示)；(2)设该格点多边形外的格点数为c，求c－a的值．解：(1)由a＋12b－1＝40得b＝82－2a.(2)∵方格纸共有200个格点，∴a＋b＋c＝200.将b＝82－2a代入，得a＋82－2a＋c＝200⇒c－a＝118.第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究整式和其他知识的综合应用，一般先根据题意列出整式，再通过计算进行判断．第2讲整式及其运算考点剖析，归类探究