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-1-2019届高中毕业班调研测试数学(文科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得：，，所以，故选D.2.在复平面内，复数和对应的点分别是和，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】由复数和对应的点分别是和得：，，故，故选C.3.已知向量，，，若，则实数的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，，∴，又∵，，∴，解得，故选A.4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()-2-A.B.C.D.【答案】C【解析】第一次循环：，，，执行“否”；第二次循环：，，，执行“否”；第三次循环：，，，执行“否”；第四次循环：，，，执行“否”；第五次循环：，，，执行“是”，输出32，故选C.5.函数的图象可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，，因为，所以，即在时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处-3-所对应的函数值或其符号，其中包括等.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为()A.B.C.D.【答案】C【解析】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1MB1C，故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2，D1M＝MC＝，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.7.已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列是函数的图象的对称轴方程的为()A.B.C.D.【答案】A【解析】函数的图象的对称轴方程为，故函数的图象的对称轴方程为，当时，，故选A.8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得()A.一鹿、三分鹿之一B.一鹿C.三分鹿之二D.三分鹿之一-4-【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a1，且a1＝1＋＝，公差为d，则5a1＋d＝5，解得d＝－，所以a3＝a1＋2d＝＋2×＝1，所以簪裹得一鹿，故选B.9.已知正四棱锥的顶点均在球上，且该正四棱锥的各个棱长均为，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设点在底面的投影点为，则，，平面，故，而底面所在截面圆的半径，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径，故球的表面积，故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.10.已知命题：椭圆与双曲线有相同的焦点；命题：函数的最小值为.下列命题为真命题的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】中椭圆为：，双曲线为，焦点坐标分别为和，故为假命题；中，设(当且仅当时，等号成立)，则在区间上单调递增，故，故为真命题，所以为真命题，故选B.11.若不等式组所表示的平面区域被直线：分为面积相等的两部分，则（）-5-A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可画出可行域为如图△ABC及其内部所表示的区域，联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l平分△ABC的面积，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故选A.12.设函数，若对于任意的，都有，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题知，为函数的一个极大值，所以，得，设，则，，当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以，即，故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在半径为的圆内任取一点，以点为中点的弦的弦长小于的概率为________.【答案】【解析】由题知，当且仅当弦心距d＝1，即|CP|1时，以点P为中点的弦的弦长小于2，由几何概型的概率公式可得所求概率为.14.甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出-6-的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.【答案】3【解析】由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝32，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.15.已知分别是锐角的内角，，的对边，且，，则的取值范围是________.【答案】【解析】由题得，即，则，所以，由，得，因为，所以，故的取值范围为，故答案为.16.已知直线过抛物线：的焦点，与交于，两点，过点，分别作的切线，且交于点，则点的轨迹方程为________.【答案】【解析】不妨将抛物线翻转为，设翻转后的直线的方程为，翻转后的A，B两点的坐标分别为，，则联立，得①，易得抛物线在点A处的切线方程为，同理可得抛物线在点B处的切线方程为，联立得，再由①可得，所以，故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；-7-(Ⅱ)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：(Ⅰ)由结合化简可得，根据等比数列通项公式可得结果；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可得，利用错位相减法得其前前项和.试题解析：(Ⅰ)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋1－3an－1－1，即2an＝3an－1，所以，当n＝1时，a1＝3a1＋1，解得.所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得所以，①②则①—②，得，化简整理可得点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式，这一常用等式的应用以及数列求和，属于常规题；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.-8-年龄单人促销价格（单位：元）(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数；(Ⅱ)某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；(Ⅲ)若按照分层抽样的方法从年龄在，的居民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有人的年龄在的概率.【答案】(1)0.3,32;（2）旅行社的这一活动是盈利的；(3)【解析】试题分析：（1）频率分布直方图中所有小矩形的面积（频率）之和为1，由此可求得的概率，取各组的中间数作为各组均值乘以相应的频率后相加可得；（2）由频率分布直方图可得三组的频率，分别乘以对应的促销价相加后减去成本为正时是赢利，为负时是不赢利；（3）把6人分别编号，其中两个年龄段的人可用不同的编号，然后用列举法可得所有抽取2人的组合，并能得出至少有1人的年龄在[50，60]的组合数，从而计算出概率．试题解析：(1)年龄在[30，40)的频率为1－(0.020＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.3，故估计该市被抽取市民的年龄的平均数x＝15×0.2＋25×0.25＋35×0.3＋45×0.15＋55×0.1＝32.(2)平均每个旅客为旅行社带来的利润为150×0.2＋240×0.7＋180×0.1－200＝160，故旅-9-行社的这一活动是盈利的．(3)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在[10，20)，分别记为a，b，c，d；有2人年龄在[50，60]，分别记为E，F.“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，E}，{a，F}，{b，c}，{b，d}，{b，E}，{b，F}，{c，d}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，共15种，其中事件“至少有1人的年龄在[50，60]”包含的基本事件为{a，E}，{a，F}，{b，E}，{b，F}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，共9种，故该事件发生的概率为P＝＝.19.如图，底面半径为，母线长为的圆柱的轴截面是四边形，线段上的两动点，满足.点在底面圆上，且，为线段的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)四棱锥的体积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证线面平行，考虑到Q是AP的中点，因此可再取PB的中点H，从而由中位线定理得HQ与EF平行且相等，因此有FQ//HE，从而得线面平行；（2）P点是固定的，平面ABCD是不变的，因此四棱锥的高是定值，而四棱锥的底面ABEF的面积也是不变的，因此体积为定值，由体积公式可得体积．试题解析：(1)证明：设PB的中点为F，连接HE，HQ，在△ABP中，利用三角形中位线的性质可得QH∥AB，且QH＝AB，又EF∥AB，EF＝AB，所以EF∥HQ，EF＝HQ，所以四边形EFQH为平行四边形，所以FQ∥HE，-10-所以FQ∥平面BPE.(2)四棱锥PABEF的体积为定值，定值为.理由如下：由已知可得梯形ABEF的高为2，所以S梯形ABEF＝×2＝3，又平面ABCD⊥平面ABP，过点P向AB作垂线PG，垂足为G，则由面面垂直的性质定理可得PG⊥平面ABCD，又AP＝，AB＝2，∠APB＝90°，所以BP＝1，所以PG＝＝，所以V四棱锥PABEF＝×PG×S梯形ABEF＝××3＝，所以四棱锥PABEF的体积为定值，定值为20.已知椭圆:的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左顶点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）；（2）直线l的方程为x＝1.【解析】试题分析：(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解；(2)联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.试题解析：(1)因为抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，所以椭圆C的半焦距c＝，即a2－b2＝3.①把点Q代入＋＝1，得＋＝1.②由①②解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为x＝ty＋1，代入＋y2＝1，得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.则|y1－y2|＝＝＝＝＝-11-.令＝m(m≥)．易知函数y＝m＋在[，＋∞)上单调递增，则＋≥＋＝，当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．所以|y1－y2|≤.所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，所以Smax＝，此时直线l的方程为x＝1.21.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1