量子力学期末考试试卷及答案集

1/28量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B.黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA.Ψ代表微观粒子的几率密度；B.Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C.Ψ一定是实数；D.Ψ一定不连续。3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA.偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.一定也是该方程的一个解；B.一定不是该方程的解；C.Ψ与一定等价；D.无任何结论。5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA.粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。6．如果以l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA.ihzlB.ihzl2/28C.ixlD.hxl7．如果算符A、B对易，且A=A，则：BA.一定不是B的本征态；B.一定是B的本征态；C.一定是B的本征态；D.∣Ψ∣一定是B的本征态。8．如果一个力学量A与H对易，则意味着A：CA.一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。9．与空间平移对称性相对应的是：BA.能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。10．如果已知氢原子的n=2能级的能量值为-3.4ev，则n=5能级能量为：DA.-1.51ev;B.-0.85ev;C.-0.378ev;D.-0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且l=N-2n，则在一确定的能量(N+23)h下，简并度为：BA.)1(21NN；B.)2)(1(21NN；C.N(N+1)；3/28D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数)]1()2()2()1([21s是什么性质：CA.自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z本征值为1.二填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eVnEn26.13，则电子由n=5跃迁到n=4能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为————————————。2．如果已知初始三维波函数)0,(r，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为)(p=——————————————，任意时刻的波函数为),(tr————————————。3．在一维势阱（或势垒）中，在x=x0点波函数————————（连续或不连续），它的导数'————————————（连续或不连续）。4．如果选用的函数空间基矢为n，则某波函数处于n态的几率用Dirac符号表示为——————————，某算符A在态中的平均值的表示为——————————。5．在量子力学中，波函数在算符操作下具有对称性，含义是——————————————————————————，与对应的守恒量F一定是——————————算符。6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是————————————————————。三计算题（40分）1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x≤a，V(x)=∞,当x0或x0,求粒子的能量和波函数。(10分)2．设一维粒子的初态为)/()0,(0hxipExpx，求),(tx。（10分）4/283．计算z表象变换到x表象的变换矩阵。（10分）4。4个玻色子占据3个单态1，2，3，把所有满足对称性要求的态写出来。（10分）B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x的共同本征函数。（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符BAˆ,ˆ，满足1ˆˆ22BA，且0ˆˆˆˆABBA，求1、在A表象中算符Aˆ、Bˆ的矩阵表示；2、在A表象中算符Bˆ的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）线性谐振子在0t时处于状态)21exp(3231)0,(22xxx，其中，求1、在0t时体系能量的取值几率和平均值。2、0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵5/282330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()()()(2112212211qqqqS4、宇称算符Pˆ和坐标x的对易关系是：PxxPˆ2],ˆ[，将其代入测不准关系知，只有当0ˆPx时的状态才可能使Pˆ和x同时具有确定值，由)()(xx知，波函数)(x满足上述要求，所以)(x是算符Pˆ和x的共同本征函数。5、设Fˆ和Gˆ的对易关系kˆiFˆGˆGˆFˆ，k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示Fˆ、Gˆ和k在态中的平均值，令FFˆFˆ，GGˆGˆ，则有4222k)Gˆ()Fˆ(，这个关系式称为测不准关系。时间t和能量E之间的测不准关系为：2Et二、1、由于1ˆ2A，所以算符Aˆ的本征值是1，因为在A表象中，算符Aˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符Aˆ的矩阵是：1001)(ˆAA设在A表象中算符Bˆ的矩阵是22211211)(ˆbbbbAB，利用0ˆˆˆˆABBA得：02211bb；由于1ˆ2B，所以002112bb002112bb10012212112bbbb，21121bb；由于Bˆ是厄密算符，BBˆˆ，0101212bb010*12*12bb*12121bb令ieb12，（为任意实常数）得Bˆ在A表象中的矩阵表示式为：00)(ˆiieeAB6/282、在A表象中算符Bˆ的本征方程为：00iiee即iiee00iiee和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即0iiee0121对1有：121iBe，对1有：121iBe所以，在A表象中算符Bˆ的本征值是1，本征函数为121ie和121ie3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即1121iieeS三、解：1、0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：)21(nEn)2,1,0(n，)()exp(!2)(22xHxnxnnn当1,0n时有：)exp()(220xx，)exp()(2)(221xxx于是0t时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10xxx，容易验证它是归一化的波函数，于是0t时的能量取值几率为：31)0,21(0EW，32)0,23(1EW，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：67323110EEE2、0t时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10tixtixtx显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0t时体系能量的取值几率和平均值与0t的结果完全相同。7/28四、解：将矩阵改写成：HHHˆˆˆ023032020300020001能量的零级近似为：1)0(1E，2)0(2E，3)0(3E能量的一级修正为：0)1(1E，)1(2E，2)1(3E能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14EEHEEHE，222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594EEHEEHE，2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39EEHEEHE所以体系近似到二级的能量为：2141E，2252E，23923E先求出0ˆH属于本征值1、2和3的本征函数分别为：001)0(1，010)0(2，100)0(3，利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(iikikkikEEH，可求出波函数的一级修正为：0102)1(1，302)1(2，0103)1(3近似到一级的波函数为：0211，3122，1303五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以iq表示第i)3,2,1(i个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(qqqs；（2）)()()(322212)2(qqqs（3）)()()()()()()()()(311221312211322111)3(qqqqqqqqqCs；（4）)4(s)()()()()()()()()([113222322112312212qqqqqqqqqC8/28一、（20分）已知氢原子在0t时处于状态213101122(,,0)()()()010333xxxx其中，)(xn为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出0t时的波函数。解已知氢原子的本征值为42212neEn，,3,2,1n（1）将0t时的波函数写成矩阵形式2311233(,0)23xxxx（2）利用归一化条件232***2311221212233d3332312479999xxcxxxxxcc（3）于是，归一化后的波函数为232311121297733(,0)72437xxxxxxx