电工学简明教程(秦曾煌)2

第2章正弦交流电路第2章正弦交流电路第2章正弦交流电路第2章正弦交流电路2.1正弦电压与电流2.2正弦量的相量表示法2.3单一参数的交流电路2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路2.5阻抗的串联与并联2.6电路中的谐振2.7功率因数的提高2.8三相电路2.9非正弦周期电压和电流第2章正弦交流电路第2章正弦交流电路在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应用更为广泛。正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。第2章正弦交流电路2.1正弦电压与电流直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如右上图所示。正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如右下图所示。tuiO–+uiR–+uiR正半周负半周电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。负半周时，由于参考方向与实际方向相反，所以为负值。+实际方向表征正弦量的三要素有幅值初相位频率tOU,I第2章正弦交流电路2.1.1频率与周期T周期T：正弦量变化一周所需要的时间；角频率:t2［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。［解］ImTf1ti0ＴT/2频率f：正弦量每秒内变化的次数；fT22–Ims02.01fT=2f=23.1450rad/s=314rad/s第2章正弦交流电路2.1.2幅值与有效值瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母表示。如i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。msin()iiItTRItRiT202dTtiTI02d12mII2mUUt2Imti0ＴT/2–Im同理可得根据上述定义，有得当电流为正弦量时:2mEE最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标表示。如Im、Um、Em。有效值是从电流的热效应来规定的。交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内消耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电的有效值。第2章正弦交流电路2.1.3初相位tiO正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0时的值)及到达幅值或某一特定值所需时间就不同。itOtIisinm00imsin()iIt0msiniI例如:不等于零t=0时，t=0时的相位角称为初相位角或初相位。t和(t+)称为正弦量的相位角或相位。它表明正弦量的进程。若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同。第2章正弦交流电路2.1.3初相位0tiu同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为相位差，用表示。u和i的相位差为当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的初相位角改变，但初相位角之差不变。iu21图中，u超前i角或称i滞后u角tiOi1i2i3i1与i3反相i1与i2同相m1sin()uUtm2sin()iIt1212()()tt21在一个交流电路中，电压、电流频率相同，而初相位常常不相同，如左上图所示第2章正弦交流电路2.2正弦量的相量表示法aAOb+1+jr模辐角代数式三角式指数式极坐标式sinrbcosra22barabarctan正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。A=a+jb=r(cos+jsin)=rej=r设平面有一复数A复数A可有几种式子表示复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数进行乘除运算时应采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，辐角与辐角相加减。第2章正弦交流电路2.2正弦量的相量表示法由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位角。为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大写字母上打一“”。msin()iIt的相量式为jj(cossin)eIIII1j上式中(有效值相量)第2章正弦交流电路相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，两者之间并不相等。按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。注意只有正弦周期量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；想一想，正弦量有哪几种表示方法，它们各适合在什么场合应用？相量图1jOi1i2I1m•I2m•[例]若i1=I1msin(t+i1)i2=I2msin(t+i2)，画相量图。设i1=65，i1=30。第2章正弦交流电路[例1]若已知i1=I1msin(t+1)=100sin(t+30)A、i2=I2msin(t+2)=60sin(t30)A，求i=i1+i2。[解]正弦电量(时间函数)所求正弦量变换相量(复数)相量结果反变换相量运算(复数运算)正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把jjjjj4530mm1m21820(100e60e)A(70.770.7)A(5230)A129eAIII于是得129sin(1820)Ait第2章正弦交流电路2.3单一参数的交流电路电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。2.3.1电阻元件iRu本节从电阻、电感、电容两端电压与电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压、电流关系及能量转换问题。为学习交流电路打下基础。R–+ui1．电压电流关系设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。根据欧姆定律设msiniItmmsinsinuRiRItUt则式中mmRIU或RIUIUmm可见，R等于电压与电流有效值或最大值之比。第2章正弦交流电路电压与电流同频率、同相位；1．电压电流关系电压与电流大小关系iu波形图U•I•电压与电流相量表达式tO相量图+1+jOmmsinsinuRiRItUtRIUURIR–+uimsiniIt2.3.1电阻元件的交流电路第2章正弦交流电路瞬时功率平均功率2．功率utOipOtP=UI转换成的热能msiniIttUusinm)2cos1(tUIuipPtWR–+uiRIRUUItpTPT220d1第2章正弦交流电路2.3.2电感元件的交流电路设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。L–+ui1．电压电流关系设tIisinm由tiLudd，有)90sin(cosmmtUtILuLmmmXILIU式中感抗XL=LXL与f的关系OfXLfLXL2感抗与频率f和L成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。第2章正弦交流电路ui波形图tOU•+1+jO1．电压电流关系电压超前电流90；相量图电压与电流大小关系U=IXL电压与电流相量式tIisinm)90sin(mtUu–+ui2.3.2电感元件的交流电路I•LLXIUj第2章正弦交流电路2．功率瞬时功率iut0pt0++––当u、I实际方向相同时(i增长)p0，电感吸收功率；当u、I实际方向相反时(i减小)p0，电感提供功率。tIisinm)90sin(mtUutUIuip2sin波形图i平均功率P=0无功功率电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)乏。电感不消耗功率，它是储能元件。22LLUQUIXIX–+uL第2章正弦交流电路2.3.3电容元件的交流电路OfXC容抗设1．电压电流关系有i=CUmcost=Imsin(t+90)由tUusinmtuCiddmmm1CUIIXC1CXC12CXfCC–+uiXC与f的关系设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。式中容抗与频率f，电容C成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。第2章正弦交流电路u波形图tOiU•+1+jO电流超前电压90相量图I•电压与电流大小关系U=IXC电压与电流相量式tUusinmmsin(90)iIt1．电压电流关系2.3.3电容元件的交流电路C–+uiCXIUj第2章正弦交流电路2．功率瞬时功率uitOptO++––当u、i实际方向相同时(u增长)p0，电容吸收功率；当u、i实际方向相反时(u减小)p0，电容提供功率。tUIuip2sin波形图平均功率P=0无功功率电容与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)乏。电容不消耗功率，它是储能元件。2IXUIQCtUusinmmsin(90)iItC–+ui第2章正弦交流电路[例1]下图中电容C=23.5F，接在电源电压U=220V、频率为50Hz、初相位为零的交流电源上，求电路中的电流i、P及Q。该电容的额定电压最少应为多少伏？[解]容抗11135.52CXCfC1.62ACUIXA)90314sin(3.2)90sin(mttIiC–+uiP=0Q=UI=356.4var额定电压≥311V第2章正弦交流电路2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路根据KVL可列出1．电压电流关系tiCtiLRiuuuuCLRd1dd在R、L、C串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。如用相量表示电压与电流关系，可把电路模型改画为相量模型。CLRUUUUIXIXIRCLjjIXXRCL)(j)(CLXXRIUjjarctanj22ee)(ZXXRZRXXCLCL–jXCRjXL电路的阻抗，用Z表示。KVL相量表示式为–+L–+uCRiuLuCuR–+–+–+–+–+–+URULUCUI第2章正弦交流电路1．电压电流关系2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路2222)1()(CLRXXRZCLZXXRIUCL22)(RXXUUUCLRCLarctanarctanRXXCLCLXXRZarctanj22e)(上式中称为阻抗模，即阻抗的单位是欧姆，对电流起阻碍作用；是阻抗的辐角，即为电流与电压之间的相位差。第2章正弦交流电路1．电压电流关系2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路设电流i=Imsint为参考正弦量当XLXC，为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；当XLXC，为负，则电流超前电压，电路呈电容性；当XL=XC，=0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。的大小和正负由电路参数决定。则电压u=Umsin(t+)为正时电路中电压电流相量图I•U•UR•UL•UC•UL•UC•阻抗三角形XLXCRZ第2章正弦交流电路2．功率2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路)2cos(costUIUIpcosd)2cos(cos1d100UIttUIUITtpTPTTRIUUIRcosttIUuipsin)sin(mm瞬时功率整理可得平均功率为从R、L、C串