2016年初等数论第四次作业答案

2016年西南大学初等数论第四次作业证明题1．设n是整数，证明6|n(n+1)(2n+1)。证明：n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n–1)+n(n+1)(n+2)。n(n+1)(n–1)是三个连续整数的积，n(n+1)(n+2)也是三个连续整数的积，而三个连续整数的积可被6整除，所以6|n(n+1)(n–1)，6|n(n+1)(n+2)。由整出的性质可得6|n(n+1)(2n+1)。2．设n是整数，证明：nn3|6。证明：)1)(1(3nnnnn。由于)1)(1(nnn是3个连续整数的积，所以nn3|3。由于)1(nn是2个连续整数的积，所以nn3|2。又（2,3）=1，所以nn3|6。3．设x，y均为整数。证明：若yx2|7，则yx610|7。证明：)2(37610yxxyx，因为yx2|7，所以)2(3|7yx,因为7|7，所以7|7x，从而)2(37|7yxx，所以yx610|74．设x，y均为整数。证明：若yx9|5，则yx78|5。证明：yyxyx65)9(878。因为yx9|5，所以)9(8|5yx。又因为5|65，所以5|65y。从而yyx65)9(8|5，所以yx78|5。5.设x是实数，n是正整数，证明：nxnx][。证明：设nxa，则1anxa，所以)1(anxna。因为na与n(a+1)都是整数，所以)1(][anxna，于是1][anxa，从而anx][，所以nxnx][。6.设p是质数，证明：mmpppp)()()()1(2。证明：因为1)1(，1)(aaappp，所以)()()1(1)()()()1(122mmmpppppppp=mp。7．证明：若ca|，db|，则cdab|。证明：由ca|，db|知存在整数p，q使得apc，bqd，所以abpqapbqcd，因为pq为整数，所以由整除的定义知cdab|。8．证明：若)(modmba，)(modmdc，则)(modmdbca。证明：由)(modmba，)(modmdc得)(|bam，)(|dcm，由整除的性质得)]()[(|dcbam，即)]()[(|dbcam，所以)(modmdbca。9．设a是大于1的整数，证明44a是合数。证明：422224()444aaaa22222(2)4(22)(22)aaaaaa由于1a且是整数，所以22221,221aaaa，且均为整数，故当a是大于1的整数时，44a是合数。10．设m为整数，证明：22|(2)mm。证明：因为2(1)mmmm是两个连续整数的积，所以22|()mm。又2|2，所以由整除的性质知22|(2)mm。