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第七章《机械能》第四讲《机械能守恒功能关系能量守恒》【计划课时】4课时【学习目标】1.2.3.会对单个物体和系统应用机械能守恒定律求解。4.知道各种功能关系的含义,会用功能关系和能量守恒定律求解实际问题。【教学重难点】1.系统机械能守恒问题.2.功能关系的综合应用.【使用说明与方法指导】1.2.一、机械能守恒定律1机械能守恒守律：只有重力或系统内弹力做功的物体系统内，动能和重力势能、弹性势能间相互转化，但机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律。其实质是机械能内部的转化或转移。2机械能守恒定律的适用条件：从做功来看，只有重力或系统内弹力做功的物体系统内；从能量角度看，只有系统内的动能和势能间的相互转化，没有其他能量（如内能、化学能、电能等）和系统内机械能之间的转化。具体判断方法：（1）对单个物体，只有重力做功．（只受重力，或受其他力但其他力不做功）（2）对某一系统,物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其它形式的能，则系统的机械能守恒．【例1】下列关于机械能守恒的叙述，正确的是（）A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做变速运动的物体机械能可能守恒C.合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒D.若只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒【解析】选B、D.机械能守恒的条件是只有重力、弹力做功，而不是合外力为零或合外力做的功为零，故选项A、C错误，选项B、D正确.【练1】如图，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中（）A．小球的机械能守恒B．小球和弹簧总机械能守恒C．小球在b点时动能最大D．小球b→c的运动过程中加速度先减小后增大总结：判断物体的机械能是否守恒应注意：3．机械能守恒定律的三种表达式(1)从守恒的角度：选取某一平面为零势能面，如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零，系统末状态的机械能和初状态的机械能相等，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2（势能包括弹性势能）(2)从能量转化的角度：系统的动能和势能发生相互转化时，系统势能的减少量等于系统动能的增加，即ΔEp＝ΔEk（注意：重力势能的相对性和重力势能变化的绝对性）(3)从能量转移的角度：系统中有A、B两个物体，A机械能的减少量等于B机械能的增加量，即ΔEA减＝ΔEB增．4、利用机械能守恒定律解题的一般思路：(1)、选取研究对象——单个物体、多个物体组成的系统、系统内有弹簧。(2)、根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒；(3)、确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.(4)、选择合适的表达式列出方程，进行求解.（若选择初末态机械能能相等，则需选择零势能面）(5)、对计算结果进行必要的讨论和说明.(6)、单个物体的机械能守恒可以用动能定理代替。5、机械能守恒定律方程往往只涉及过程的初、末两状态，不必考虑中间过程的细节，这使问题解决变得简单快捷。6、动能定理和机械能守恒定律的比较：前者没有条件，后者有条件；前者通常适用于单个物体，后者适用于系统；动能定理反映的是合外力做功从而物体的动能发生了变化，而机械能守恒反映的是在只有重力或弹力做功的物体系统内，机械能之间发生转化或转移，而总量不变。都是标量式，都只涉及过程的初、末两状态，不必考虑中间过程的细节，但动能定理要考虑中间过程的做功。二、机械能守恒定律的应用1、单个物体的机械能守恒：例2、如图，位于竖直平面内的轨道，由一段倾斜直轨道和圆形轨道分别与水平面相切连接而成，各接触面都是光滑的，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上A点处由静止开始下滑，恰好通过圆形轨道最高点D．物块通过轨道连接处B、C时无机械能损失．求：A点距水平面的高度h.解：物块在D点时由牛顿第二定律：mg=mv2/R①以水平面为零势能面，由机械能守恒定律：mgh=mg·2R+21mv2②得：h=25R③总结：单个物体可优先选择应用动能定理求解。上式②可根据动能定理：mg(h-2R)=21mv2-0,动能定理的优越性在于无条件性。【练2-1】要使一个小球着地后回跳的最大高度超过小球初位置高度5m，必须用多大的初速度将它竖直上抛?(不计空气阻力以及球和地面碰撞时的机械能损失,g=10m/s2)2、系统的机械能守恒：明确研究系统，哪些能量增大了，哪些能量减小了，选择适当的关系式。【例3】一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图，重力加速度为g,开始时OA边处于水平位置，现由静止释放，则()A.A球的最大速度为gl2B.A球速度最大时，两小球的总重力势能最小C.A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°D.A、B两球的最大速度之比为2∶1解析:两小球的总重力势能最小时，二者的动能最大，且转动过程中A球和B球的速度大小之比始终为2∶1，故选项B、D正确。当OA边与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得2222121)sin1(2cos2BAmvmvlmglmg可得),1cos(sin382glvA由数学知识知，当θ＝45°时，2有最大值,)12(38gl故选项A错，C对.答案:BCD【练3】如图，一固定的楔形木块，其斜面的倾角=30，另一边与水平地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物体A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦，若A沿斜面下滑s距离时，细绳突然断了。求物体B上升的最大高度H。(B始终不与定滑轮相碰)【例4】如图所示，一根粗细均匀链条长为L，放在光滑的桌面上，一部分在桌边自然下垂，其长度为a，今将链条由静止释放，当链条刚好全部滑离桌面时，链条下端未落地，则此时链条速度为多大？【分析】物体末状态的示意图，如图所示，初状态整个链条不可看做质点，但可看由两部分组成，即水平部分AB段和竖直部分BC段，这两段均可视为质点，整个过程中只有重力做功，链条的机械能守恒，取桌面为0参考平面.初状态时，动能为零，故机械能为：E1=Ek1+EP1=EP1=-amg/L×a/2未状态时，设速度为v，其势能为Ep2；EP2=-mgL/2；机械能E2=mv2/2-mg·L/2由机械能守恒定律，得Ek1+EP1=Ek2+EP2；即0+(-amg/L×a/2)=mv2/2+(-mgL/2)，得：v=LaLg/)(22故链条全部离开桌面时速度为LaLg/)(22解：整个过程中只有重力做功，链条的机械能守恒，取桌面为0参考平面，则：0+(-amg/L×a/2)=mv2/2+(-mgL/2)解得：v=LaLg/)(22故链条全部离开桌面时速度为LaLg/)(22总结：对于不能看作质点的物体总势能等于各部分势能之和，“分段”处理求势能的变化量的总和可给我们解决问题带来方便。【练4】一根全长为L、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，如图，当受到轻微扰动，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间铁链速度大小为多少？已知重力加速度为g3、含有弹簧的系统机械能守恒：弹性势能的表达式EP=221kx中学阶段不要求定量计算，但要注意“定性判定形变量相等时弹性势能相等”的应用，涉及弹性势能的问题一般用间接方法（动能定理或机械能守恒定律）求出。【例5】如图所示，在竖直方向上A、B物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过光滑轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为30°.用手拿住C，使细绳刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细绳竖直、cd段的细绳与斜面平行，已知B的质量为m，C的质量为4m，A的质量远大于m，重力加速度为g，细绳与滑轮之间的摩擦力不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，斜面足够长，求：(1)当B的速度最大时，弹簧的伸长量；(2)B的最大速度．[解析](1)通过受力分析可知：当B的速度最大时，其加速度为0，细绳上的拉力大小为：F＝4mgsin30°＝2mg………………①此时弹簧处于伸长状态，弹簧的伸长量为xA，满足：kxA＝F－mg，则xA＝mgk……………②(2)开始时弹簧压缩的长度为：xB＝mgk…………………③因A质量远大于m，所以A一直保持静止状态．B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离均为：h＝xA＋xB由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，此时B、C的速度相等，设为vBm，由B、C及弹射系统机械能守恒：4mghsin30°＝mgh＋12(m＋4m)v2BmL21由此解得vBm＝2gm5k【练5-1】如图，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧.滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab=0.8m,bc=0.4m，重力加速度g=10m/s2,则下列正确的是：()A.滑块动能的最大值是6JB.弹簧弹性势能的最大值是6JC.从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6JD.滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒【练5-2】如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？(已知重力加速度为g)4、系统的机械能不守恒时，除重力或弹力以外的力对系统做的功等于系统机械能的改变。对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒。【例6】如图所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角300（绳拉直）由静止释放，求物体到达O点正下方处的动能及绳子所受张力？重力加速度为g错解：由机械能守恒定律：mg1.5l=21mv2，所以最低点动能为1.5mgl分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B．自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题．正确解法：vB=gl2，其方向竖直向下，将该速度分解如图所示v2＝vBcos300，v1在绳的拉力作用下很快减为零,物体以v2为初速度做圆周运动.由B至C的过程中机械能守恒：222212121cmvmglmv由此得221cmv=mgl45【练6-1】如图，在一光滑的水平面上放着质量都是m的三个物体，其中B、C静止，中间夹着一个质量不计的弹簧，弹簧处于松驰状态，今物体A以水平速度v0撞向B，且与其粘在一起运动，求整个运动过程中,⑴.弹簧具有的最大弹性势能。⑵.物体C的最大速度。【练6-2】如图，长为L的轻绳一端系于固定点O，另一端系一质量为m的小球，将小球从O点正下方L/4处以一定的初速度水平向右抛出，经过一段时间，绳被拉直，以后小球将以O为圆心在竖直平面内摆动，已知绳刚被拉直时，绳与竖直方向成600角，重力加速度为g，求：(1)小球水平抛出时的初速度v0(2)小球摆到最低点时，绳所受的拉力的大小。三、功能关系：1、应用功能关系需注意的问题（1）搞清力对“谁”做功：对“谁”做功就对应“谁”的位移，引起“谁”的能量变化。（2）不同的力做功对应不同形式的能量变化。2、摩擦力做功与产生内能的关系静摩擦力做功的特点：(1)静摩擦力可以做正功、负功，还可以不做功。(2)在静摩擦力做功的过程中，一对相互作用的静摩擦力所做功的代数总和等于零。只有机械能从一个物体转移到另一个物体(摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量。滑动摩擦力做功的特点：(1)滑