1.2-阶梯线性方程组的回代法

第1章线性方程组1.2阶梯方程组的回代法1.1线性方程组的基本概念1.3线性方程组的消元法1.2.2阶梯线性方程组1.2.1回代法1.2阶梯方程组的回代法内容小结阶梯形方程组的回代法3/161.2.1回代法例1.1求解下列线性方程组12323323,4,28;xxxxxx(1)12353445244,3,26.xxxxxxxx(2)阶梯形方程组的回代法4/16解(1)由第三个方程2x38,解得x34;将x34代入第二个方程x2x34,得x20;将x34,x20代入第一个方程x12x2x33,得x17,于是得该方程组的唯一解:1237,0,4.xxx阶梯形方程组的回代法5/1612353445244,3,26.xxxxxxxx(2)将未知量x2,x5视作参数移到右端,阶梯形方程组的回代法6/16将x462x5代入第二个方程得x332x5;将x462x5,x332x5代入第一个方程得x110x2,于是该方程组有无穷多解,13253445244,3,62.xxxxxxxx由第三个方程解得x462x5;其通解为则原方程组变为(2)将未知量x2,x5视作参数移到右端,阶梯形方程组的回代法7/16122235455510,,32,62,,xxxxxxxxxx其中x2和x5为任意数.把视作参数移到方程右端的未知量称为自由未知量,而把其余的未知量称为基本未知量.注自由未知量可以任意取值;方程组的通解中,基本未知量均由自由未知量表示.阶梯形方程组的回代法8/16自由未知量的选取并非唯一,可以选x1,x4为自由未知量,例如,对于例1.1中方程组12353445244,3,26.xxxxxxxx此时方程组改写为23513454244,3,26.xxxxxxxx阶梯形方程组的回代法9/161121344454,10,3,,13,2xxxxxxxxxx其中x1和x4为任意数.同理可求得方程组的通解还可选x1,x5为自由未知量,或者选x2,x4为自由未知量.阶梯形方程组的回代法10/16现在将例1.1中解线性方程组的方法总结如下:(a)选定若干个自由未知量,将其全部移到方程的右端,使得最后一个方程只含一个基本未知量xk,倒数第二个方程除了可能含基本未知量xk外只含基本未知量xj,.(b)从最后一个方程开始求解,逐次将所解得的基本未知量的值代入到前一个方程中,使得该方程只含一个基本未知量,从而可以求解.这个方法是将后面方程的解代入前面方程,从而求得前面方程中基本未知量的值,因此称之为回代法.阶梯形方程组的回代法11/161.2.2阶梯方程组但是,并不是任何线性方程组都可以用回代法求解,那么能用回代法求解的线性方程组应当具有什么样的特点呢?通过观察例1.1中的线性方程组,不难发现它们呈阶梯形状,称这样的方程组为阶梯方程组.阶梯形方程组的回代法12/16例1.1求解下列线性方程组12323323,4,28;xxxxxx(1)12353445244,3,26.xxxxxxxx(2)阶梯形方程组的回代法13/161122332233111111222221,,,0,00,00,rrrrrrjjjjjjjjnnjjjjjjnnrjjrnnrrcxcxcxcxcxdcxaxcxcxdcxcxdd其中j1,j2,,jr满足1j1j2jrn,且一般来说,阶梯方程组具有如下形状:0iijc.阶梯形方程组的回代法14/16若dr10,则0dr1为矛盾方程,即阶梯方程组无解.若dr10,则阶梯方程组有解.此时,一般选每个方程的第一个未知量为基本未知量,删去所有“00”的方程后,有基本未知量个数方程个数,自由未知量个数未知量个数方程个数.当未知量个数等于方程个数时,方程组有唯一解;当未知量个数大于方程个数时,方程组有无穷多解.阶梯形方程组的回代法15/16定理1.1在阶梯方程组中,删去所有“00”的方程.(1)若最后一个方程“0dr1(dr10)”,则方程组无解.(2)若最后一个方程含有未知量,则方程组有解:当方程个数等于未知量个数时,方程组有唯一解;当方程个数小于未知量个数时,方程组有无穷多解,可用自由未知量表示出其通解.阶梯形方程组的回代法16/161.回代法2.自由未知量,基本未知量3.阶梯方程组的定义内容小结