2014年高考数学总复习教案第十一章计数原理随机变量及分布列第4课时离散型随机变量及分布列

一折网作文录第十一章计数原理、随机变量及分布列第4课时离散型随机变量及分布列、超几何分布(对应学生用书(理)171～173页)考情分析考点新知本部分重点以应用题为背景，考查离散型随机变量的分布列及某范围内的概率等.本节内容属于理科加试必做题的内容，考查题型为解答题，是近几年高考的热点.①理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列.②理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.③理解随机变量的概率分布，掌握0－1分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题.1.(选修23P52习题1改编)下列问题属于超几何分布的有________．(填序号)①抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布列；②有一批种子的发芽率为70%，现任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布列；③一盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，现任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布列；④某班级有男生25人，女生20人，现选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布列．答案：③④解析：注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，①、②属于独立重复试验问题．2.(选修23P47例题3改编)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k15(k＝1，2，3，4，5)，则P12X52＝________.答案：15解析：P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.3.(选修23P52习题4改编)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．答案：1363一折网作文录解析：数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或者3，发生的概率为2·C25C35C510，所以数字之和小于2或大于3的概率为1－2·C25C35C510＝1363.4.(选修23P51练习2改编)设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．答案：37解析：N＝50，M＝15，n＝2，r＝1，P(X＝1)＝H(1，2，15，50)＝C115C135C250＝37.5.(选修23P50例1改编)某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________．答案：103133解析：把选出的4人中男生的人数记为X，显然随机变量X满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为P(X≥2)．有P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝C212C210C422＋C312C110C422＋C412C010C422＝103133.1.离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布，具有性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2.如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的01分布(或两点分布)．3.超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝r}发生的概率为P(X＝r)＝CrM·Cn－rN－MCnN(r＝0，1，2，…，l)，其中l＝min{n，M}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N，称分布列为超几何分布列．记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝CrM·Cn－rN－MCnN一折网作文录记为H(r；n，M，N)．X01…lPC0M·Cn－0N－MCnNC1M·Cn－1N－MCnN…ClM·Cn－lN－MCnN[备课札记]一折网作文录题型1离散型随机变量的概率分布例1随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ξ.求ξ的分布列．解：ξ的分布列为ξ0123P1312016变式训练在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2)，求随机变量ξ的分布列．解：随机变量ξ的取值为0、1、2，ξ的分布列为ξ012P715715115题型2超几何分布例2已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，求X的概率分布列．解：P(X＝2)＝810·79＝2845，P(X＝3)＝810·29·78＋210·89·78＝1445，P(X＝4)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)＝115，所以X的概率分布列如下表X234P28451445115备选变式（教师专享）一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布，并求P12≤X≤52.解：易知X的可能取值为0、1、2、3这四个数字，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的都是次品，第k＋1次才取得正品，其中k＝0、1、2、3.故X的分布列为X0123一折网作文录P3494492201220P12≤X≤52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝944＋9220＝27110.题型3实际问题例3已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．解：(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，且P(A)＝C23C24＝12，P(B)＝C24C26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝12×25＝15.(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且P(C)＝C23C24·C12·C14C26＝415，P(D)＝C13C24·C24C26＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝415＋15＝715.(3)ξ可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(ξ＝0)＝15，P(ξ＝1)＝715，P(ξ＝3)＝C13C24·1C26＝130.从而P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝310.ξ的分布列为ξ0123P15715310130备选变式（教师专享）黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．(1)在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；(2)在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：(1)记事件A为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，则该事件分为两个事件A1和A2，A1为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”；A2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝C110·C16·C16C322＋C110·C26C322＝1877＋15154＝51154，一折网作文录∴在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率为51154.(2)由于8名学生中有6名学生有学生证，∴ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ＝1)＝C16C22C38＝328，P(ξ＝2)＝C26C12C38＝1528，P(ξ＝3)＝C36C38＝514，∴ξ的分布列为ξ123P32815285141.(2012·广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案：19解析：两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为545＝19.2.(2013·新课标Ⅱ)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________．答案：8解析：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：(1，4)，(2，3)共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为C2n，由古典概型概率计算公式，得从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为P＝2C2n.所以C2n＝28，即n（n－1）2＝28，解得n＝8.3.(2013·江苏)现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．答案：2063解析：m可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，所以总共有7×9＝63种可能，符合题意的m可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n可以取1，3，5，7，9共5个，所以总共有4×5＝20种可能符合题意，所以符合题意的概率为2063.一折网作文录4.如图，从A1(1，0，0)、A2(2，0，0)、B1(0，1，0)、B2(0，2，0)、C1(0，0，1)、C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望E(V)．解：(1)从6个点中随机选取3个点总共有C36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C13C34＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝1220＝35.(2)V的所有可能取值为0、16、13、23、43，因此V的分布列为V016132343P35120320320120则V的数学期望E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.1.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．答案：35解析：∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.2.在一次面试中，每位考生从4道题a、b、c、d中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响．(1)若甲考生抽到a、b题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率；(2)设某两位考生抽到的题中恰好有X道相同，求随机变量X的概率分布．解：(1)P＝C12·C12C24＝23.(2)X的可能取值为0、1、2，P(X＝0)＝C24·C22C24·C24＝16，一折网作文录P(X＝2)＝C24·1C24·C24＝16，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－