2014年高考数学(文)试题分类汇编M推理与证明

由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费数学M单元推理与证明M1合情推理与演绎推理16．，[2014·福建卷]已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．20114．[2014·全国新课标卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A14．[2014·陕西卷]已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．14.x1＋2014xM2直接证明与间接证明21．、[2014·湖南卷]已知函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x2n＜23.21．解：(1)f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sinx0，此时f′(x)0;当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sinx0，此时f′(x)0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又fπ2＝0，故x1＝π2.当n∈N*时，因为f(nπ)f[]（n＋1）π＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.因此，当n＝1时，1x21＝4π2＜23；当n＝2时，1x21＋1x22＜1π2(4＋1)＜23；当n≥3时，1x21＋1x22＋…＋1x2n1π24＋1＋122＋…＋1（n－1）2＜1π25＋11×2＋…＋1（n－2）（n－1）＜1π2由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费5＋1－12＋12－13＋…＋1n－2－1n－1＝1π26－1n－1＜6π2＜23.综上所述，对一切n∈N*，1x21＋1x22＋…＋1x2n＜23.M3数学归纳法23．、[2014·江苏卷]已知函数f0(x)＝sinxx(x0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1π2＋π2f2π2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1π4＋π4fnπ4＝22都成立．23．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝sinxx′＝cosxx－sinxx2，于是f2(x)＝f1′(x)＝cosxx′－sinxx2′＝－sinxx－2cosxx2＋2sinxx3，所以f1π2＝－4π2，f2π2＝－2π＋16π3.故2f1π2＋π2f2π2＝－1.(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cosx，即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sinx＋π2.类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sinx＋3π2，4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋nπ2对所有的n∈N*都成立．(i)当n＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sinx＋kπ2.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，sinx＋kπ2′＝cosx＋kπ2·x＋kπ2′＝sinx＋（k＋1）π2，所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sinx＋（k＋1）π2，因此当n＝k＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋nπ2对所有的n∈N*都成立．由莲山课件提供资源全部免费由莲山课件提供资源全部免费令x＝π4，可得nfn－1π4＋π4fnπ4＝sinπ4＋nπ2(n∈N*)，所以nfn－1π4＋π4fnπ4＝(n∈N*)．M4单元综合新课标第一网系列资料