2014年高考数学(江苏专用)二轮专题复习素材阶段检测卷5

阶段检测卷(五)一、填空题(每小题5分，共70分)1．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人；现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．解析设抽取的女运动员有x人，则856＝x42，解得x＝6.答案62．(2011·江苏卷)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析由题意得该组数据的平均数为x＝15(10＋6＋8＋5＋6)＝7，所以方差为s2＝15[32＋(－1)2＋12＋(－2)2＋(－1)2]＝3.2.答案3.23．(2011·江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析从中取出两个数共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6种情况．其中一个数是另一个数的两倍的情况共有{1,2}，{2,4}2种，∴p＝26＝13.答案134．(2010·江苏卷)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色相同的概率是________．解析四个球取出两球有6种等可能基本事件：(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．两只球颜色相同有3种：(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)．所以所求概率为P＝36＝12.答案125．(2013·南通调研)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是________．解析由于四棱锥的斜高h＝72＋32＝4，故其侧面积S＝12×4×6×4＝48.答案486．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________解析当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋907＝91，∴x＝1.答案17．(2012·辽宁卷改编)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为________．解析设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12－x)cm，那么矩形的面积为x(12－x)cm2，由x(12－x)＞20，解得2＜x＜10.又0＜x＜12，所以该矩形面积大于20cm2的概率为23.答案238．(2013·辽宁卷改编)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．解析由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.所以该班学生人数150.3＝50.答案509．(2012·南通模拟)给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为________．解析落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于频率组距＝41066.5－64.5＝15.答案1510．(2012·淮阴、海门、天一中学联考)在圆x2＋y2＝4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|＋|y|≤2的概率为________．解析|x|＋|y|≤2表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆x2＋y2＝4的面积易得概率为2π.答案2π11．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝12AC＝12×22＝2.答案212．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．解析①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8；个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个．②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个，个位数为0的概率是545＝19.答案1913．已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．解析取边BC上的中点D，由PB→＋PC→＋2PA→＝0，得PB→＋PC→＝2AP→，而由向量的中点公式知PB→＋PC→＝2PD→，则有AP→＝PD→，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概率的概率公式知，所求的概率为12.答案1214．(2013·安徽卷改编)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是________．解析若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；由题目看不出是系统抽样，所以②错；这五名男生成绩的平均数，x男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，这五名女生成绩的平均数x女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，故这五名男生成绩的方差为s2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8，这五名女生成绩的方差为s2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6.显然③正确，④错．答案③二、解答题(共90分)15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：DE⊥平面PAB.证明(1)设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝12AB.故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF.又ED⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，故DE∥平面PBC.(2)因为PD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PD.又因为AB⊥AD，PD∩AD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.ED⊂平面PAD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以ED⊥平面PAB.16．(本小题满分14分)(2013·南京、盐城模拟)如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE.(1)求证：AB∥平面CDE；(2)求证：平面ABCD⊥平面ADE.证明(1)正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE.(2)因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，AE、AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE.17．(本小题满分14分)(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点，(1)求证：MN∥平面AA1C1C；(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.证明(1)连接AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，又因为AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为AC＝AA1，所以四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C，又AC1∥MN，所以A1C⊥MN.又因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AC1，因为MN∥AC1，所以MN⊥BC，又MN⊥A1C，又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.18．(本小题满分16分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)记三棱锥P­ABD体积为V1，四棱锥P­BDEF体积为V2，且V1V2＝43，求此时线段PO的长．(1)证明在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO.∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF.∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD.∵AO∩PO＝O，AO，PO⊂平面POA.∴BD⊥平面POA.(2)解设AO∩BD＝H由(1)知，PO⊥平面ABFED，PO＝CO.∴PO是三棱锥P­ABD的高及四棱锥P­BDEF的高∴V1＝13S△ABD·PO，V2＝13S梯形BFED·PO∵V1V2＝43∴S梯形BFED＝34S△ABD＝34S△BCD∴S△CEF＝14S△BCD∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CDB∴COCH2＝S△CEFS△BCD＝14∴CO＝12CH＝12AH＝12×23＝3∴线段PO的长为3.19．(本小题满分16分)(2013·扬州调研)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱．证明(1)连接AC1，设AC1与A1C相交于点O，连接DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DO∥BC1∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD∴BC1∥平面A1CD；(2)∵等边△ABC，D为AB的中点，∴CD⊥AB∵CD⊥DA1，DA1∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB1A1∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，∵四边形BCC1B1是矩形，∴BB1⊥BC∵BC∩CD＝C，∴BB1⊥平面ABC∵底面△ABC是等边三角形∴三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱．20．(本小题满分16分)(2012·苏锡常镇调研)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．图1图2(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B­DEG的体积．(1)证明如图(1)∵CE＝4，∠DCE＝30°，过点D作AC的垂线交于点M，则DM＝3，EM＝1，∴DE＝2，CD＝23.则CD2＋DE2＝EC2，∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.在图(2)中，又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.图(1)图(2)(2)解在图(2)中，∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE＝EG＝CG＝2.作BH⊥CD交于H.∵平面BCD⊥平面ACD，∴B