2014年高考数学(理)二轮复习三级排查大提分专练6-2椭圆双曲线抛物线

第1页共7页第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(仿2011·福建，7)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()．A.31414B.324C.32D.43解析∵c＝3，b＝5，∴a2＝c2－b2＝9－5＝4，∴a＝2.因此离心率e＝ca＝32.答案C2．(仿2012·安徽，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()．A．18B．24C．36D．48解析设抛物线方程为y2＝2px，当x＝p2时，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝|AB|2＝122＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝12×12×6＝36.答案C3．(仿2013·四川，6)设F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，第2页共7页则双曲线的离心率为()．A．2B.3C.52D.5解析依题意，不妨设点Ap2，ba×p2，则由点A在抛物线y2＝2px上得bp2a2＝2p×p2，由此得b2＝4a2.该双曲线的离心率等于ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2＝5.答案D4．(仿2013·安徽，8)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则OP→·FP→的最大值()．A．2B．3C．6D．8解析由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则OP→·FP→＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x20＋x0＋y20.∵P为椭圆上一点，∴x204＋y203＝1.∴OP→·FP→＝x20＋x0＋31－x204＝x204＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴OP→·FP→的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.答案C5．(仿2013·辽宁，15)已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是()．A．6x－5y－28＝0B．6x＋5y－28＝0第3页共7页C．5x＋6y－28＝0D．5x－6y－28＝0解析设M(x1，y1)，N(x2，y2，)又B(0,4)，F(2,0)，由重心坐标得0＋x1＋x23＝2，4＋y1＋y23＝0⇒x1＋x2＝6①y1＋y2＝－4②，所以弦MN的中点为(3，－2)．因为点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以4x21＋5y21＝804x22＋5y22＝80，作差得4(x1＋x2)(x1－x2)＋5(y1＋y2)(y1－y2)＝0，将①和②代入得k1＝y1－y2x1－x2＝65，所以，直线l为：y＋2＝65(x－3)即6x－5y－28＝0答案A6．(仿2011·四川，10)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程是________．解析∵抛物线y2＝16x的焦点为(4,0)，∴双曲线的半焦距c＝4.∴a2＋b2＝16，ba＝3，解之得a＝2，b＝23.故双曲线的方程为x24－y212＝1.答案x24－y212＝17．(仿2012·重庆，14)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()．A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2第4页共7页解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A、B两点在抛物线上，∴y21＝2px1，①y22＝2px2，②①－②得，(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴y1－y2x1－x2＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－p2＝－1.答案B8．(仿2013·江西，9)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点O，则k1·k2的值为________．解析设点M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，k1＝y0－y1x0－x1.k2＝y0＋y1x0＋x1，即k1·k2＝y20－y21x20－x21，又x20a2－y20b2＝1，x21a2－y21b2＝1.所以x20－x21a2－y20－y21b2＝0，即y20－y21x20－x21＝b2a2，所以k1·k2＝b2a2.又离心率为e＝2，所以k1·k2＝c2－a2a2＝e2－1＝3.答案39．(仿2012·江苏，19)已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；第5页共7页(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝61＋1＝3，∴b＝5－3＝2.由题意得ca＝33，a2＝b2＋c2，b＝2，∴a2＝3，b2＝2.∴椭圆E的方程为y23＋x22＝1.(2)证明设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线l0与椭圆E的方程得y＝kx－x0＋y0，y23＋x22＝1.消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得：(2－x20)k2＋2kx0y0－(y20－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－y20－32－x20，∵点P在圆O上，∴x20＋y20＝5，∴k1·k2＝－5－x20－32－x20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.10．(仿2013·山东，22)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为42.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且第6页共7页满足OA→＋OB→＝tOP→(O为坐标原点)，当|PA→－PB→|＜253时，求实数t的取值范围．解(1)由题意知椭圆的离心率e＝ca＝22，∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝12，即a2＝2b2.又△EGF2的周长为42，即4a＝42，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由y＝kx－2x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－2)＞0，得k2＜12.x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∵OA→＋OB→＝tOP→，∴(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，x＝x1＋x2t＝8k2t1＋2k2，y＝y1＋y2t＝1t[k(x1＋x2)－4k]＝－4kt1＋2k2.∵点P在椭圆C上，∴8k22[t1＋2k2]2＋2－4k2[t1＋2k2]2＝2，∴16k2＝t2(1＋2k2)．∵|PA→－PB→|＜253，∴1＋k2|x1－x2|＜253，∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＜209，第7页共7页∴(1＋k2)64k41＋2k22－4·8k2－21＋2k2＜209，∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，∴k2＞14.∴14＜k2＜12.∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝16k21＋2k2＝8－81＋2k2，又32＜1＋2k2＜2，∴83＜t2＝8－81＋2k2＜4，∴－2＜t＜－263或263＜t＜2，∴实数t的取值范围为－2，－263∪263，2.