2014年高考数学三轮专题分项模拟数列质量检测试题理(含解析)

1专题质量检测(三)数列一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＝25π，则tana8的值是()A.3B．－3C.33D．－33解析：由题意得S15＝＋2＝15a8＝25π，∴a8＝5π3，∴tana8＝tan5π3＝tanπ＋2π3＝tan2π3＝－3.答案：B2．已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12＝()A．15B．30C．45D．60解析：方法一：设等比数列{an}的公比为q，则a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝a1·q3＋a2·q3＋a3·q3a1＋a2＋a3＝q3＝63，即q3＝2.故S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝(a1＋a2＋a3)＋(a1·q3＋a2·q3＋a3·q3)＋(a1·q6＋a2·q6＋a3·q6)＋(a1·q9＋a2·q9＋a3·q9)＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q3＋(a1＋a2＋a3)q6＋(a1＋a2＋a3)q9＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3＋q6＋q9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.方法二：设等比数列{an}的公比为q，则a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝q3＝63，即q3＝2.因为S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝9，S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12，所以S12－S6S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1·q6＋a2·q6＋a3·q6＋a4·q6＋a5·q6＋a6·q6a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q6＝4，所以S12＝5S6＝45.答案：C3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝32，S3＝92，则公比q＝()A.12B．－12C．1或－12D．1或12解析：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝a1＋a2＋a3＝92，符合题意；当q≠1时，由题可得a3＝a1q2＝32，S3＝－1－q＝92，解得q＝－12.故q＝1或q＝－12.2答案：C4．已知等差数列{an}的公差d＝1729，a30＝2，则数列{an}的前30项的和为()A．－15B．255C．－195D．－60解析：由题意得，{an}的首项a1＝a30－29d＝2－29×1729＝－15，则S30＝30×(－15)＋30×292×1729＝－195.故选C.答案：C5．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30＋S10＝(210＋1)S20，则数列{an}的公比为()A．1B.12C.14D.18解析：设数列{an}的公比为q，因为210S30＋S10＝(210＋1)·S20，所以210(S30－S20)＝S20－S10，由此可得210(S20－S10)·q10＝S20－S10，所以q10＝1210.又因为{an}是正项等比数列，所以q＝12.答案：B6．在下面的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()cos02sinπ6tanπ4xyzA.1B．2C．3D．4解析：注意到cos0＝1，sinπ6＝12，tanπ4＝1，根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表如下，所以x＋y＋z＝1，选A.1322523121543214x＝1218y＝516116z＝3163答案：A7．已知直线y＝b(b＞0)与曲线f(x)＝sinx在y轴右侧依次的三个交点的横坐标x1，x2，x3成等比数列，则b的值为()A.12B.22C.32D．1解析：依题意得，x2＝π－x1，x3＝2π＋x1，∵x22＝x3x1，∴(π－x1)2＝x1·(2π＋x1)，解得x1＝π4，∴b＝sinπ4＝22，选B.答案：B8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为()A.2n＋1－13B.2n＋1－23C.22n－13D.22n－23解析：依题意得当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，an＝2n－1也适合a1.因此，an＝2n－1，an＋1an＝2，数列{an}是等比数列，数列{an}的奇数项的前n项和为－1－22＝22n－13，选C.答案：C9．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931…A．811B．809C．807D．805解析：由题意知前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.答案：B10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋4(an＞0)，则数列{an}的通项an＝()A．2n－1B．3n2－2nC．4n＋6D．5n2＋7n解析：因为Sn＝＋4，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝＋1＋4－＋4＝14(a2n＋1－a2n＋2an＋1－2an)，即4an＋1＝a2n＋1－a2n＋2an＋1－2an，整理得2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.因为an＞0，所以an＋1＋an＞0，所以an＋1－an－2＝0，即an＋1－an＝2.当n＝1时，有S1＝＋4，即a1＝＋4，整理得a21－2a1＋1＝0，解得a1＝1.所以数列{an}是一个首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，其通项an＝1＋2(n－1)＝2n－1.答案：A411．如图，将等差数列{an}的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形顶点所填的三项也成等差数列，数列{an}的前2012项和S2012＝4024，则满足nan＞ann的n的值为()A．2012B．4024C．2D．3解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a2，a3，a5成等差数列得2a3＝a2＋a5，即2(a1＋2d)＝(a1＋d)＋(a1＋4d)，有d＝0，于是an＝a1，由S2012＝4024得2012a1＝4024，有a1＝2，即an＝2，由nan＞ann得n2＞2n，结合函数y＝2x与y＝x2的图象知n＝3.答案：D12．考虑以下数列{an}，n∈N*：①an＝n2＋n＋1；②an＝2n＋1；③an＝lnnn＋1.其中满足性质“对任意的正整数n，an＋2＋an2≤an＋1都成立”的数列有()A．①②③B．②③C．①③D．①②解析：对于①，a1＋a32＞a2，因此{an}不满足性质“对任意的正整数n，an＋2＋an2≤an＋1都成立”．对于②，易知数列{an}是等差数列，故有an＋2＋an2＝an＋1，因此{an}满足性质“对任意的正整数n，an＋2＋an2≤an＋1都成立”．对于③，an＋2＋an＝ln＋＋＋，2an＋1＝lnn＋1n＋22，又＋＋＋－n＋1n＋22＝＋－＋＋＋＋＋＝－2n－3＋＋＋＜0，即有an＋2＋an2＜an＋1，因此{an}满足性质“对任意的正整数n，an＋2＋an2≤an＋1都成立”．综上所述，满足性质“对任意的正整数n，an＋2＋an2≤an＋1都成立”的数列为②③.所以选B.答案：B二、填空题13．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，a11＝9，则S6＝________.解析：由等差数列的性质可得，a6＝12(a1＋a11)＝5，S6＝＋2＝3(a1＋a6)＝18.5答案：1814．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．设数列{2an}的前n项和为Sn，则Sn＝__________.解析：设数列{an}的公差为d，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1或d＝0(舍去)，故数列{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n，所以2an＝2n，由等比数列的前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝－1－2＝2n＋1－2.答案：2n＋1－215．设Sn为数列{an}的前n项和，若S2nSn(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝__________.解析：由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝＋2，前2n项和为S2n＝＋2，所以S2nSn＝＋2＋2＝2＋2nd4＋nd－d＝2＋21＋4－dnd.因为数列{cn}是“和等比数列”，即S2nSn为非零常数，所以d＝4.答案：416．设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….将数列{an}中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，则这个三角形数表的第n行的数字之和是__________．35691012……解析：根据数列{an}中的项与集合中的元素的关系，数列的第一项对应s＝0，t＝1，数列的第二项对应s＝0，t＝2，第三项对应s＝1，t＝2，第四项对应s＝0，t＝3，第五项对应s＝1，t＝3，第六项对应s＝2，t＝3……由此可得规律，数表中的第n行对应t＝n，s＝0,1,2,3，…，(n－1)．故第n行的数字之和是(2n＋20)＋(2n＋21)＋(2n＋22)＋…＋(2n＋2n－1)＝n·2n＋1－2n1－2＝(n＋1)·2n－1.答案：(n＋1)·2n－1三、解答题17．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．解析：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a22＋a23＝a24＋a25得a22－a25＝a24－a23，即(a2－a5)(a26＋a5)＝(a4－a3)(a4＋a3)，即－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1＋7×62d＝7，解得a1＝－5，d＝2，所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.(2)方法一：amam＋1am＋2＝－－2m－3，设2m－3＝t，则amam＋1am＋2＝－－t＝t＋8t－6，又amam＋1am＋2是数列{an}中的项，则t＋8t－6是整数，所以t为8的约数，因为t是奇数，所以t可取的值为±1.当t＝1时，m＝2，t＋8t－6＝3，由a5＝2×5－7＝3，知amam＋1am＋2是数列{an}中的项；当t＝－1时，m＝1，t＋8t－6＝－15，而数列{an}中的最小项是－5，故m＝1不符合题意；所以满足条件的正整数m＝2.方法二：若amam＋1am＋2＝＋2－＋2－am＋2＝am＋2－6＋8am＋2为数列{an}中的项，则8am＋2为整数，则由(1)知：am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.18．已知在数列{an}中，a1＝1，且点(an，an＋1)在函数f(x)＝x＋2的图象上(n∈N*)．(1)证明数列{an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝an3n，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Sn.解析：(1)∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝x＋2的图象上，∴an＋1＝an＋2，∴an＋1－an＝2，∴{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1.(2)由题易知bn＝an3n＝2n－13n，则Sn＝131＋332＋…＋2n－33n－1＋2n－13n，①13Sn＝132＋333＋…＋2n－33n＋2n－13n＋1，②①－②得23Sn＝13＋232＋233＋…＋23n－2n－13n＋1＝13＋29×1－13n－11－13－2n－